Question

平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長(zhǎng)C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，正方形A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃C₂₀₁₂的面積為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：先根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似，證明△AOD和△A₁BA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的邊長(zhǎng)等于正方形ABCD邊長(zhǎng)的 ，以此類推，后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的，然后即可求出第2014個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系，從而求出第2014個(gè)正方形的面積．
解答：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
又∵在坐標(biāo)平面內(nèi)，∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和△A₁BA中，，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴OD：AO=AB：A₁B=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=BC，
以此類推A₂C₁=A₁C，A₃C₂=A₂C₁，…，
即后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的倍，
∴第2014個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）²⁰¹³BC，
∵A的坐標(biāo)為（1，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴BC=AD==，
∴A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃C₂₀₁₂，即第2014個(gè)正方形的面積為[（ ）²⁰¹³BC]²=5×（）⁴⁰²⁶=5×（）2013．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，根據(jù)規(guī)律推出第2014個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，本題綜合性較強(qiáng)．