Question

在平面直角坐標(biāo)系中，正△O₁A₁B₁，邊長(zhǎng)為1，O₁在坐標(biāo)原點(diǎn)，取A₁B₁的中點(diǎn)作第二個(gè)正△O₂A₂B₂，取A₂B₂的中點(diǎn)作第三個(gè)正△O₃A₃B₃，…，所有的正三角形都關(guān)于y軸對(duì)稱，如果所作的正三角形的邊長(zhǎng)依次增加1個(gè)單位長(zhǎng)度，頂點(diǎn)A_n都在第一象限內(nèi)（n≥1，且n為整數(shù)），那么A₂的坐標(biāo)為

 

，A_n的坐標(biāo)

 

．

Answer 1

分析：運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)求出三角形的

1

2

邊長(zhǎng)即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用勾股定理求出三角形的高，然后找出每下一個(gè)三角形高與上一個(gè)三角形高的規(guī)律性，即可求得A_n縱坐標(biāo)．

解答：解：第一個(gè)正三角形的高是

3

2

，每下一個(gè)正三角形的高比前一個(gè)增加

3

2

，那么第n個(gè)正三角形的高是

n 3

2

．A_n的橫坐標(biāo)是

n

2

，縱坐標(biāo)是所有正三角形高的和，即為

3

2

+

2 3

2

+

3 3

2

+…+

n 3

2

=

3

2

（1+2+3+…+n）=

3  n2+ 3 n

4

，所以A_n的坐標(biāo)（

n

2

，

3 n2+ 3 n

4

）．
當(dāng)n=2時(shí)，A₂的坐標(biāo)為 （1，

3 3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用及其規(guī)律性．