Question

12．已知O為坐標(biāo)原點，拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于點A（x₁，0），B（x₂，0），與y軸交于點C，且O，C兩點間的距離為3，x₁•x₂＜0，|x₁|+|x₂|=4，點A，C在直線y₂=-3x+t上．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）將拋物線y₁向左平移n（n＞0）個單位，記平移后的拋物線圖象y隨著x的增大而增大的部分為P，直線y₂向下平移n個單位，當(dāng)平移后的直線與P有公共點時，求n²-4n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用y軸上點的坐標(biāo)性質(zhì)表示出C點坐標(biāo)，再利用O，C兩點間的距離為3求出即可；
（2）分別利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，-3），即c=-3，得出A，B點坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式，然后由①得出y₁向左平移n個單位后，則解析式為：y₃=-（x+1+n）²+4，進(jìn)而求出平移后的直線與P有公共點時得出n的取值范圍，由②y₁向左平移n個單位后，則解析式為：y₃=（x-1+n）²-4，進(jìn)而求出平移后的直線與P有公共點時得出n的取值范圍，進(jìn)而利用配方法求出函數(shù)最值．

解答 解：（1）令x=0，則y=c，故C（0，c），
∵OC的距離為3，
∴|c|=3，即c=±3，
∴C（0，3）或（0，-3）；

（2）∵x₁x₂＜0，
∴x₁，x₂異號，
①若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y₂=-3x+t，則0+t=3，即t=3，
∴y₂=-3x+3，
把A（x₁，0）代入y₂=-3x+3，則-3x₁+3=0，即x₁=1，
∴A（1，0），
∵x₁，x₂異號，x₁=1＞0，
∴x₂＜0，
∵|x₁|+|x₂|=4，
∴1-x₂=4，
解得：x₂=-3，
則B（-3，0），
代入y₁=ax²+bx+3得，$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{9a-3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y₁=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
則當(dāng)x≤-1時，y隨x增大而增大；
y₁向左平移n個單位后，則解析式為：y₃=-（x+1+n）²+4，則當(dāng)x≤-1-n時，y隨x增大而增大，
y₂向下平移n個單位后，則解析式為：y₄=-3x+3-n，
要使平移后直線與P有公共點，則當(dāng)x=-1-n，y₃≥y₄，
即-（-1-n+1+n）²+4≥-3（-1-n）+3-n，解得：n≤-1，
∵n＞0，
∴n≤-1不符合條件，應(yīng)舍去；
②若C（0，-3），即c=-3，把C（0，-3）代入y₂=-3x+t，則0+t=-3，即t=-3，
∴y₂=-3x-3，
把A（x₁，0），代入y₂=-3x-3，則-3x₁-3=0，即x₁=-1，
∴A（-1，0），
∵x₁，x₂異號，x₁=-1＜0，
∴x₂＞0，
∵|x₁|+|x₂|=4，
∴1+x₂=4，解得：x₂=3，則B（3，0），
代入y₁=ax²+bx+3得，$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4，
則當(dāng)x≥1時，y隨x增大而增大，
y₁向左平移n個單位后，則解析式為：y₃=（x-1+n）²-4，
則當(dāng)x≥1-n時，y隨x增大而增大，
y₂向下平移n個單位后，則解析式為：y₄=-3x-3-n，
要使平移后直線與P有公共點，則當(dāng)x=1-n，y₃≤y₄，
即（1-n-1+n）²-4≤-3（1-n）-3-n，
解得：n≥1，
綜上所述：n≥1，n²-4n=（n-2）²-4，
∴當(dāng)n=2時，2n²-5n的最小值為：-4．

點評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題．考查了二次函數(shù)的平移以及二次函數(shù)增減性等知識．注意利用分類討論得出n的取值范圍是解題關(guān)鍵．