Question

如圖，M為等邊△ABC內(nèi)部的一點，且MA=8，MB=10，MC=6，將△BMC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△ANC．下列說法中：①MC=NC；②AM=AN；③S_{四邊形AMCN}=S_△ABC﹣S_△ABM；④∠AMC=120°．正確的有__________．（請?zhí)钌戏�號�?/p>

Answer 1

①③

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CM=CN，BM=AN，故①正確，②錯誤；△BCM≌△ACN，于是得到S_△BCM=S_△ACN，求得S_{四邊形AMCN}=S_△ACM+S_△ACN=S_△ABC﹣S_△ABM；故③正確；連接MN，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=60°，推出△CMN是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠CMN=60°，MN=CM=6，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠AMN=90°，求得∠AMC=150°，故④錯誤．

【解答】解：∵△BMC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△ANC，

∴CM=CN，BM=AN，故①正確，②錯誤；

△BCM≌△ACN，

∴S_△BCM=S_△ACN，

∴S_{四邊形AMCN}=S_△ACM+S_△ACN=S_△ABC﹣S_△ABM；故③正確；

連接MN，∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠ACN=∠BCM，

∴∠MCN=60°，

∴△CMN是等邊三角形，

∴∠CMN=60°，MN=CM=6，

在△AMN中，∵AM²+MN²=8²+6²=10²=AN²，

∴∠AMN=90°，

∴∠AMC=150°，故④錯誤，

故答案為：①③．

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，連接MN構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．