Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點D與點A關于y軸對稱，tan∠ACB=,點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的長和點D的坐標；

（2）說明△AEF與△DCE相似；

（3）當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標．

Answer 1

【解析】（1）∵四邊形ABCO為矩形，∴AO=BC，AB=OC，∠B=90°，∴在Rt△ABC中， AB=4，BC=3，由勾股定理，得AC=5．∴AO=3．∵點D與點A關于y軸對稱，∴AO=DO．∴DO=3，

∴D（3，0）；

（2）點D與點A關于y軸對稱，∴∠CDE=∠CAO，∴AC=CD=5．∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，∴∠CDE=∠CEF，∵∠AFE=∠ACE+∠CEF，∠DEC=∠ACE+∠CAO，∴∠AFE=∠DEC．

∵在△AEF與△DCE中，，∴△AEF∽△DCE（AA）．

（3）當△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：

①當CE=EF時，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE，∴AE=CD=5，∴OE=AE-OA=5-3=2，

∴E（2，0）；

②當EF=FC時，∵∠FCE=∠FEC=∠ACB=∠CAE ,∴AE=CE   

設E（a ,0），∴OE²+OC²=CE²=AE²=（OA+OE）²  即： 

解得a=此時，點E的坐標為（，0）

③當CE=CF時，E與D重合與題目矛盾．

綜上所述，當△EFC為等腰三角形時，點E的坐標為（2，0）或（，0）