Question

6．已知關(guān)于x的方程（m-1）x²-x-2=0．
（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．
（2）若x₁，x₂是該方程的兩個(gè)根，且x₁²x₂+x₁x₂²=-$\frac{1}{8}$，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=（-1）²-4（m-1）×（-2）＞0，然后解不等式即可；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=$\frac{1}{m-1}$，x₁x₂=$\frac{-2}{m-1}$，再變形x₁²x₂+x₁x₂²=-$\frac{1}{8}$得到x₁x₂（x₁+x₂）=-$\frac{1}{8}$，所以-$\frac{2}{m-1}$•$\frac{1}{m-1}$=-$\frac{1}{8}$，然后解關(guān)于m的方程即可得到滿足條件的m的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=（-1）²-4（m-1）×（-2）＞0，解得m＞$\frac{7}{8}$
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=$\frac{1}{m-1}$，x₁x₂=$\frac{-2}{m-1}$，
∵x₁²x₂+x₁x₂²=-$\frac{1}{8}$，
∴x₁x₂（x₁+x₂）=-$\frac{1}{8}$
∴-$\frac{2}{m-1}$•$\frac{1}{m-1}$=-$\frac{1}{8}$，
整理得（m-1）²-16=0，解得m₁=5，m₂=-3，
而m＞$\frac{7}{8}$
∴m=5．

點(diǎn)評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．注意判別式的意義．