Question

【題目】在菱形ABCD中，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)(但不與A、B兩點(diǎn)重合)，DP的延長(zhǎng)線交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)△APD與△BPE是否總相似，為什么？

(2)當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)B是EC中點(diǎn)．

(3)當(dāng)PD⊥AB時(shí)，設(shè)AD＝10，sinA= ，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)相似．理由見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）由四邊形ABCD為菱形，得到AD∥BC，即可得到結(jié)論；（2）先由角角邊證得△APD≌△BPE，AD=BE，再由四邊形ABCD為菱形， 得到AD=BC，即BE=BC，即點(diǎn)B為EC中點(diǎn)．（3）再Rt△APD中，由AD＝10，sinA=得PD=8，AP=6，故PB=4，由△APD∽△BPE可得＝，即可求得BE長(zhǎng).

試題解析：： (1)相似．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD∥BC．

∴∠DAP=∠EBP，∠ADP=∠BEP．

∴△APD△BPE．

(2)∵P是AB中點(diǎn)，

∴AP=BP．

又∵∠DAP=∠EBP，∠ADP=∠BEP，

∴△APD≌△BPE.

∴AD=BE.

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD=BC．

∴BE=BC．

即點(diǎn)B為EC中點(diǎn)．

(3)∵PD⊥AB，AD＝10，sinA=. ∴PD=8．∴AP=6．∴PB=AB—AP=10—6=4．

∵△APD∽△BPE，∴ ＝ ∴BE＝＝＝