精英家教網(wǎng)如圖,在⊙M中,弧AB所對的圓心角為120°,已知⊙M的半徑為2cm,并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
(1)求圓心M的坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的解析式;
(3)點D是弦AB所對的優(yōu)弧上一動點,求四邊形ACBD的最大面積.
分析:(1)連接MA,MB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠AMO=
1
2
AMB=60°,由直角三角形的性質(zhì)可求出M點的坐標(biāo).
(2)根據(jù)△AOM與△BOM是直角三角形,∠AMO=∠BMO=60°,可求出A、B兩點的坐標(biāo),因為A、B兩點關(guān)于y軸對稱,故此拋物線關(guān)于y軸對稱,根據(jù)此特點可設(shè)出拋物線的解析式,把A、B兩點的坐標(biāo)代入即可求出未知數(shù)的值,從而求出其解析式.
(3)因為四邊形ACBD的面積等于△ABC與△ABD的面積之和,而△ABC的面積為定值,△ABD的底邊長為定值,故當(dāng)△ABD的高最長時四邊形的面積最大.根據(jù)直徑是最長的弦可知當(dāng)D在y軸上時△ABD的高最長.根據(jù)三角形的面積公式及圓的半徑長可計算出四邊形的面積.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)連MA,MB,
∵MA=MB OM⊥AB∠AMB=120°
∴∠BMO=
1
2
∠AMB=60°
∴∠OBM=30°  2分
∴OM=
1
2
MB=1  1分
∴M(0,1)1分

(2)∵OC=MC-MO=1  OB=
MB2-OM2
=
3

∴C(0,-1)B(
3
,O)  2分
∵經(jīng)過A,B,C三點的拋物線關(guān)于y軸對稱
∴設(shè)經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的解析式為y=ax2+c  1分
把C(0,-1)和(
3
,0)分別代入上式
得:a=
1
3
,c=-1   1分
∴y=
1
3
x2-1.   1分

(3)∵S四邊形ACBD=S△ABC+S△ABD,又S△ABC與AB均為定值1分
∴當(dāng)△ABD邊上的高最大時,S△ABD最大,
此時點D為⊙M與y軸交點,由于⊙M的半徑為2cm,OM=1cm
∴OD=3cm,
此時S四邊形ACBD=S△ABC+S△ABD=
1
2
×2
3
×1+
1
2
×2
3
×3=
3
+3
3
=4
3
cm2
點評:本題考查的是圓的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點,比較復(fù)雜,但難度適中.
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