Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y=-x-1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．點(diǎn)C為AB延長線上一點(diǎn)且BC=AB，拋物線y=ax²+bx-3過點(diǎn)A、點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，將△ABO繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，試求出A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（直接寫出結(jié)果）
（4）△ABO繞平面內(nèi)的某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，是否存在A、B的對應(yīng)點(diǎn)同時(shí)落在拋物線上？若存在，求出對應(yīng)點(diǎn)A′、B′和旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線AB：y=-x-1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)y=0時(shí)，x=-2；
∴A（-2，0），B（0，-1），
又∵AB=BC，即B是AC的中點(diǎn)，
∴C（2，-2）．

（2）∵y=ax²+bx-3過A（-2，0）、C（2，-2）
∴
解得：a=，b=．
∴y=x²-x-3．，
頂點(diǎn)坐標(biāo)（，-）


（3）由（2）知，拋物線的對稱軸為x=，則M（，0）；
設(shè)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x²-x-3），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，有
（x-）²+（x²-x-3）²=（-2-）²，
即（x-）²+[（x-）²-]²=，
設(shè)（x-）²=m，則有：
m+（m-）²=，
解得m=，m=；
將m的值代入（x-）²=m中，可求得：
A₁（-2，0）（舍去）、A₂（-1，-2）、A₃（2，-2）、A₄（3，0）．

（4）旋轉(zhuǎn)后，A′B′∥AB，
設(shè)O′（a，b），△AOB≌△A′O′B′，則A′（a+2，b），B′（a，b+1），代入
y=x²-x-3中，
解得：a=-1，b=-3．
則A′（1，-3），B′（-1，-2）旋轉(zhuǎn)中心（-）．
分析：（1）根據(jù)直線AB的解析式，可確定A、B的坐標(biāo)，由于BC=AB，即B是AC的中點(diǎn)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．
（3）若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，那么這些點(diǎn)到M的距離都等于MA的長，可設(shè)出點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式列方程求解．（此方程是個(gè)高次方程，可用換元法求解）
（4）假設(shè)存在符合條件的旋轉(zhuǎn)中心，由于旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為180°，那么旋轉(zhuǎn)后A′B′∥AB，可設(shè)出旋轉(zhuǎn)中線的坐標(biāo)，然后表示出A′、B′的坐標(biāo)，由于A′、B′都在拋物線的圖象上，可將它們代入拋物線的解析式中，即可求得A′、B′以及旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及圖形的旋轉(zhuǎn)變化，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．