Question

如圖，已知直線y=-x+5與y軸、x軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c經過A、B兩點．
（1）求A、B兩點的坐標，并求拋物線的解析式；
（2）若點P以1個單位/秒的速度從點B沿x軸向點O運動．過點P作y軸的平行線交直線AB于點M，交拋物線于點N．
①設點P運動的時間為t，點P在運動過程中，若以MN為直徑的圓與y軸相切，試求出此時t的值；
②是否存在這樣的t值，使得CN=DM？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）A、B兩點的坐標分別為（0、5）、（5、0），
拋物線的解析式為y=-x²+4x+5；

（2）①由題意知：P（5-t，0）．
∴N（-（5-t）²+4（5-t）+5，y）
∴MN=y_N-y_M=-（5-t）²+4（5-t）+5-（-5+t+5）=-t²+5t
∵以MN為直徑的圓與y軸相切
∴-t²+5t=2（5-t），
即t²-7t+10=0，
解得t=2，t=5（不合題意舍去）
∴t的值為2；
②當CN∥DM時，CN=DM，
∵CN∥DM，直線AB的解析式為：y=-x+5
設直線CN的解析式為y=-x+h，易知：C（2，9）．
∴直線CN的解析式為y=-x+11．
聯(lián)立拋物線的解析式有：
-x+11=-x²+4x+5，
解得x=2，x=3．
因此N點的橫坐標為3，此時t=5-3=2．
根據拋物線的對稱性可知：N點關于拋物線對稱軸的對稱點N′也應該符合條件，
因此N′的橫坐標為1，此時t=5-1=4
∴t的值為2或4．
分析：（1）令直線的解析式中x=0，可求出B點坐標，令x=0，可求出A點坐標．然后將A、B的坐標代入拋物線中，即可求出拋物線的解析式．
（2）①以MN為直徑的圓與y軸相切時，P點橫坐標等于此時拋物線與直線AB函數值差的一半，據此來列等量關系求出P點的坐標，也就求出了t的值．
②如果CN∥AB，那么此時CN必與DM相等（因為此時四邊形CDMN是平行四邊形），可根據直線AB的斜率和C點坐標求出直線CN的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式可得出N點的坐標，根據拋物線的對稱性和平行線分線段成比例定理可知，N點關于拋物線對稱軸的對稱點也應該符合這個條件，由此可求出兩個符合條件的t的值．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定以及函數圖象交點等知識．