我們知道“在三角形每一頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角,它們的和就是這個(gè)三角形的外角和”.如圖7-36,完成下列問(wèn)題.

圖7-36

(1)你能求出三角形的外角和等于多少嗎?證明你的結(jié)論.

(2)如果將三角形三條邊都向兩邊延長(zhǎng),并在每?jī)蓷l延長(zhǎng)線上任取兩點(diǎn)連結(jié)起來(lái),那么在原三角形外又得到三個(gè)新三角形,如圖所示,猜想∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少?

(3)請(qǐng)用(1)的結(jié)論證明(2)的猜想.

(4)對(duì)于(2)的證明你還有其他的方法嗎?請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)與同伴交流.

 (1)三角形外角和等于360°.

已知:如圖△ABC,∠4,∠5,∠6是外角.

求證:∠4+∠5+∠6=360°.

證明:∵∠4是外角,∴∠2+∠3=∠4.

同理,∠1+∠3=∠5,∠2+∠1=∠6,

∴∠4+∠5+∠6=(∠2+∠3)+(∠1+∠3)+(∠2+∠1)=2(∠1+∠2+∠3).

∵∠1+∠2+∠3=180°,

∴∠4+∠5+∠6=2×180°=360°.

(2)如圖,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

(3)∵∠4是△ABN的外角(已知),

∴∠A+∠B=∠4(三角形任一外角等于與其不相鄰的兩內(nèi)角和).

同理,∠C+∠D=∠5,∠E+∠F=∠6,

∴∠4+∠5+∠6=(∠A+∠B)+(∠C+∠D)+(∠E+∠F).

由(1)得∠4+∠5+∠6=360°,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°(等量代換).

(4)∵∠A+∠B+∠ANB=180°,∠C+∠D+∠CHD=180°,∠E+∠F+∠EMF=180°,

∴∠A+∠B+∠ANB+∠C+∠D+∠CHD+∠E+∠F+∠EMF=180°×3=540°.

∵∠ANB=∠HNM,∠CHD=∠MHN,∠EMF=∠HMN,∠HNM+∠MHN+∠HMN=180°,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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我們知道:如果兩個(gè)三角形不僅是相似三角形,而且每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn),那么這兩個(gè)三角形叫做位似三角形,它們的相似比又稱(chēng)為位似比,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.利用三角形的位似可以將一個(gè)三角形縮小或放大.
(1)選擇:如圖1,點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心,P′、Q′、R′分別是OP、OQ、OR的中點(diǎn),則△P′Q′R′與△PQR是位似三角形.此時(shí),△P′Q′R′與△PQR的位似比、位似中心分別為
 
;
(A)2、點(diǎn)P,(B)
1
2
、點(diǎn)P,( C)2、點(diǎn)O,(D)
1
2
、點(diǎn)O;
(2)如圖2,用下面的方法可以畫(huà)△AOB的內(nèi)接等邊三角形.閱讀后證明相應(yīng)問(wèn)題精英家教網(wǎng)
畫(huà)法:
①在△AOB內(nèi)畫(huà)等邊三角形CDE,使點(diǎn)C在OA上,點(diǎn)D在OB上;
②連接OE并延長(zhǎng),交AB于點(diǎn)E′,過(guò)點(diǎn)E′作E′C′∥EC,交OA于點(diǎn)C′,作E′D′∥ED,交OB于點(diǎn)D′;
③連接C′D′,則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接三角形.
求證:△C′D′E′是等邊三角形.

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我們知道在三角形每一個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角,它們的和就是這個(gè)三角形的外角和.

(1)如圖,求出△MNP的外角和,并證明你的結(jié)論;

(2)猜想∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少;

(3)請(qǐng)用(1)的結(jié)論證明(2)的猜想.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

我們知道“在三角形每一頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角,它們的和就是這個(gè)三角形的外角和”.如圖7-36,完成下列問(wèn)題.

圖7-36

(1)你能求出三角形的外角和等于多少嗎?證明你的結(jié)論.

(2)如果將三角形三條邊都向兩邊延長(zhǎng),并在每?jī)蓷l延長(zhǎng)線上任取兩點(diǎn)連結(jié)起來(lái),那么在原三角形外又得到三個(gè)新三角形,如圖所示,猜想∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少?

(3)請(qǐng)用(1)的結(jié)論證明(2)的猜想.

(4)對(duì)于(2)的證明你還有其他的方法嗎?請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)與同伴交流.

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(1)選擇:如圖1,點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心,P′、Q′、R′分別是OP、OQ、OR的中點(diǎn),則△P′Q′R′與△PQR是位似三角形.此時(shí),△P′Q′R′與△PQR的位似比、位似中心分別為_(kāi)_____;
(A)2、點(diǎn)P,(B)、點(diǎn)P,( C)2、點(diǎn)O,(D)、點(diǎn)O;
(2)如圖2,用下面的方法可以畫(huà)△AOB的內(nèi)接等邊三角形.閱讀后證明相應(yīng)問(wèn)題.
畫(huà)法:
①在△AOB內(nèi)畫(huà)等邊三角形CDE,使點(diǎn)C在OA上,點(diǎn)D在OB上;
②連接OE并延長(zhǎng),交AB于點(diǎn)E′,過(guò)點(diǎn)E′作E′C′∥EC,交OA于點(diǎn)C′,作E′D′∥ED,交OB于點(diǎn)D′;
③連接C′D′,則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接三角形.
求證:△C′D′E′是等邊三角形.

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