Question

11．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點(diǎn)O為AD上一動(dòng)點(diǎn)（4＜OA＜8），以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)E，連接OE、AE，過點(diǎn)E作⊙O的切線交邊BC于F．
（1）求證：△ODE∽△ECF；
（2）在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)DE=x：
①求OD•CF的最大值，并求此時(shí)⊙O的半徑長；
②判斷△CEF的周長是否為定值？若是，求出△CEF的周長；否則，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠OEF=90°得出∠OED+∠CEF=90°，根據(jù)∠CEF+∠CFE=90°得出∠OED=∠EFC，最后根據(jù)∠D=∠C即可證出△ODE∽△ECF；      
（2）①根據(jù)△ODE∽△ECF，得出OD•CF=DE•EC，設(shè)DE=x，得出OD•CF=-（x-4）²+16，從而求出最大值，設(shè)此時(shí)半徑為r，根據(jù)OD²+DE²=OE²，得出（8-r）²+4²=r²，解方程即可；            
②在Rt△ODE中，根據(jù)OD²+DE²=OE²，OA=OE，得出（8-OE）²+x²=OE²，求出OE=4+$\frac{x^2}{16}$，OD=4-$\frac{x^2}{16}$，根據(jù)Rt△DOE∽R(shí)t△CEF，得出$\frac{OD}{EC}$=$\frac{DE}{CF}$=$\frac{OE}{CF}$，代入得出CF=$\frac{16x}{8+x}$，EF=$\frac{64+{x}^{2}}{8+x}$，最后根據(jù)△CEF的周長=CE+CF+EF代入計(jì)算即可得出△CEF的周長=16，是定值．

解答 （1）證明：∵EF切⊙O于點(diǎn)M，
∴∠OEF=90°，
∴∠OED+∠CEF=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠OED=∠EFC，
∵∠D=∠C=90°，
∴△ODE∽△ECF；      

（2）解：①由（1）知：△ODE∽△ECF，
∴$\frac{OD}{EC}$=$\frac{DE}{CF}$，
∴OD•CF=DE•EC，
∵DE=x，
∴EC=8-x，
∴OD•CF=x（8-x）=-x²+8x=-（x-4）²+16，
當(dāng)x=4時(shí)，OD•CF的值最大，最大值為16，
設(shè)此時(shí)半徑為r，則OA=OE=r，OD=8-r，
在Rt△ODE中，
∵OD²+DE²=OE²，
∴（8-r）²+4²=r²，
解得r=5，
即此時(shí)半徑長為5；             

②△CEF的周長為定值，△CEF的周長=16，
在Rt△ODE中，OD²+DE²=OE²，OA=OE，
即：（8-OE）²+x²=OE²，
∴OE=4+$\frac{x^2}{16}$，OD=8-OE=4-$\frac{x^2}{16}$，
∵Rt△DOE∽R(shí)t△CEF，
即$\frac{OD}{EC}$=$\frac{DE}{CF}$=$\frac{OE}{CF}$，
∴$\frac{4-\frac{{x}^{2}}{16}}{8-x}$=$\frac{x}{CF}$=$\frac{4+\frac{{x}^{2}}{16}}{EF}$，
解得：CF=$\frac{16x}{8+x}$，EF=$\frac{64+{x}^{2}}{8+x}$，
∴△CEF的周長=CE+CF+EF=8-x+$\frac{16x}{8+x}$+$\frac{{64+{x^2}}}{8+x}$=16．

點(diǎn)評(píng) 此題考查圓的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是找出圖中的相似三角形，列出比例式．