Question

【題目】已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-3a,0),B(0,4a)，△ABO的面積是6.

（1）求B的坐標(biāo).

（2）在x軸的正半軸上有一點(diǎn)C，使∠BAO=2∠BCA,AB=5,動點(diǎn)P從A出發(fā)，沿線段AC運(yùn)動,速度為每秒1個(gè)單位長度,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t，△BCP的面積為S，用含t的式子來表示S .

（3）在(2)的條件下,在P出發(fā)的同時(shí),Q從B出發(fā)。沿著平行于x軸的直線，以每秒2個(gè)單位長度的速度勻速向右運(yùn)動，在y軸上是否存在一點(diǎn)R,使△PQR為以PQ為腰的等腰直角三角形，求出滿足條件的t,并直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）(0,4)；（2）S=22－2t；（3）存在；t=2；（0，9）

【解析】

（1）把坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成長度，再利用面積求a即可，再將a代入B點(diǎn)坐標(biāo)中；

（2）作BA關(guān)于y軸的對稱線段BD，利用角的關(guān)系和等角對等邊證出BD=DC，即可求出AC，再用t表示出PC，即可求出S與t的關(guān)系式；

（3）假設(shè)存在，過點(diǎn)Q作QD⊥x軸,交x軸于D，利用△PQR為以PQ為腰的等腰直角三角形證出△RQB≌△PQD從而得到邊的關(guān)系，再利用時(shí)間t表示BQ，AP的長度，找到等量關(guān)系列出方程，即可求出t，求出OR即可.

解：（1）∵A(-3a,0),B(0,4a)，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上

∴a＞0，OA=3a，OB=4a

∵△ABO的面積是6

∴OA·OB=6

∴6a2=6

解得：a=1

∴A的坐標(biāo)為(-3,0)， B的坐標(biāo)為(0,4)

（2）作BA關(guān)于y軸的對稱線段BD，如圖所示，

∠BAO=∠BDO，BA=BD=5，AD=2AO=2DO=6

又∵∠BAO=2∠BCA

∴∠BDO=2∠BCA

∵∠BDO=∠DBC＋∠BCA

∴∠DBC=∠BCA

∴BD=DC=5

∴AC=AD＋DC=11

∵動點(diǎn)P從A出發(fā)，速度為每秒1個(gè)單位長度

∴AP=t，PC=11－t

∴S=BO·PC=22－2t

（3）存在，過點(diǎn)Q作QD⊥x軸,交x軸于D

若△PQR為以PQ為腰的等腰直角三角形

∴QR=QP，∠PQR＝90°

∴∠RQB＋∠BQP=90°

由Q從B出發(fā)，沿著平行于x軸的直線向右行駛，QD⊥x軸

∴四邊形BODQ為矩形

∴∠BQP＋∠PQD=90°，∠QBR=90°，QD=BO=4，BQ=OD

∴∠RQB=∠PQD

在△RQB和△PQD中

∴△RQB≌△PQD（AAS）

∴BQ=QD=4，BR=DP

∵Q從B出發(fā)，速度為每秒2個(gè)單位，P從A出發(fā)每秒1個(gè)單位

∴2t=4

解得：t=2

此時(shí)AP=t=2

∴OP=3－t=1

∴BR=DP= OP＋OD=1＋4=5

∴OR=OB＋BR=9

∴R的坐標(biāo)為（0，9）