Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，C為坐標(biāo)軸上的三點(diǎn)，且OA=OB=OC=4，過(guò)點(diǎn)A的直線AD交BC于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)G，△ABD的面積為8．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足為E．
（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：OF=OG；
（3）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得△CFP為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到AB=8，B（4，0），C（0，4），待定系數(shù)法求得BC的解析式為y=-x+4，根據(jù)三角形的面積得到DH=2，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到△AGO～△CGE，由相似三角形的性質(zhì)得到∠GAO=∠GCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)直線AD的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$，求得OF=OG=$\frac{4}{3}$，①如圖2，當(dāng)∠CFP=90°，F(xiàn)P=FC時(shí)，過(guò)P作PH⊥x軸于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PH=OF=$\frac{4}{3}$，F(xiàn)H=OC=4，于是得到P₁（$\frac{16}{3}$，$\frac{4}{3}$）；②如圖3，當(dāng)∠PCF=90°，CP=FC時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PH=OC=4，CH=OF=$\frac{4}{3}$，于是得到P₂（4，$\frac{16}{3}$）；③如圖4，當(dāng)∠CPF=90°，PC=PF時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PM，CN=FM，根據(jù)ON=OM，列方程得到CN=CM=$\frac{4}{3}$，于是得到P₃（$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

解答 解：（1）如圖1，作DH⊥x軸于H，
∵OA=OB=OC=4，
∴AB=8，B（4，0），C（0，4），
設(shè)BC的解析式為y=kx+b，
把B，C兩點(diǎn)代入得$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{4=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴BC的解析式為y=-x+4，
∵△ABD的面積為8，AB=8，
∴DH=2，
所以D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
把y=2代入y=-x+4得：x=2，
∴D（2，2）；

（2）∵CE⊥AD，
∴∠CEG=∠AOG=90°，
又∵∠AGO=∠CGE，
∴△AGO～△CGE，
∴∠GAO=∠GCE，
在△COF與△AOG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OCF=∠OAG}\\{OC=OA}\\{∠COF=∠AOG}\end{array}\right.$，
∴△COF≌△AOG，
∴OF=OG；

（3）存在，∵A（-4，0），D（2，2），
∴直線AD的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
∴OG=$\frac{4}{3}$，
∴OF=OG=$\frac{4}{3}$，
①如圖2，當(dāng)∠CFP=90°，F(xiàn)P=FC時(shí)，
過(guò)P作PH⊥x軸于H，
∴∠PHF=∠COF=90°，
∴∠OCF+∠OFC=∠OFC+∠PFH=90°，∴∠OCF=∠PFH，
在△COF與△PFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OCF=∠PFH}\\{∠COF=∠PHF}\\{CF=PF}\end{array}\right.$，∴△COF≌△PFH，∴PH=OF=$\frac{4}{3}$，F(xiàn)H=OC=4，
∴OH=$\frac{16}{3}$，
∴P₁（$\frac{16}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
②如圖3，當(dāng)∠PCF=90°，CP=FC時(shí)，同理證得△PHC≌△CFO，
∴PH=OC=4，CH=OF=$\frac{4}{3}$，
∴OH=$\frac{16}{3}$，
∴P₂（4，$\frac{16}{3}$）；
③如圖4，當(dāng)∠CPF=90°，PC=PF時(shí)，
過(guò)P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∴四邊形PNOM是矩形，
∴∠NPM=90°，
∴∠CPN+∠NPF=∠NPF+∠FPM=90°，
∴∠CPN=∠FPM，
在△CPN與△FPM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPN=∠FPM}\\{∠PNC=∠PMF=90°}\\{PC=PF}\end{array}\right.$，
∴△PNC≌△PMF，
∴PN=PM，CN=FM，
∴矩形PNOM是正方形，
∴ON=OM，
∴4-CN=$\frac{4}{3}$+CN，
∴CN=CM=$\frac{4}{3}$，
∴PN=PM=$\frac{8}{3}$，
∴P₃（$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$），
綜上所述：P的坐標(biāo)為（$\frac{16}{3}$，$\frac{4}{3}$），（4，$\frac{16}{3}$），（$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形和正方形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．