Question

直線y=

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x+6和x軸，y軸分別交于點E，F，點A是線段EF上一動點（不與點E重合），過點A作x軸垂線，垂足是點B，以AB為邊向右作矩形ABCD，AB：BC=3：4．
（1）當點A與點F重合時（圖1），求證：四邊形ADBE是平行四邊形，并求直線DE的表達式；
（2）當點A不與點F重合時（圖2），四邊形ADBE仍然是平行四邊形？說明理由，此時你還能求出直線DE的表達式嗎？若能，請你出來．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：綜合題

分析：對于直線y=

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x+6，分別令x與y為0求出y與x的值，確定出E與F坐標，
（1）當A與F重合時，根據F坐標確定出A坐標，進而確定出AB的長，由AB與BC的比值求出BC的長，確定出AD=BE，而AD與BE平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到四邊形AEBD為平行四邊形；根據AB與BC的長確定出D坐標，設直線DE解析式為y=kx+b，將D與E坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線DE解析式；
（2）當點A不與點F重合時，四邊形ADBE仍然是平行四邊形，理由為：根據直線y=

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x+6解析式設出A坐標，進而表示出AB的長，根據A與B橫坐標相同確定出B坐標，進而表示出EB的長，發(fā)現EB=AD，而EB與AD平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到四邊形AEBD為平行四邊形；根據BC的長求出OC的長，表示出D坐標，設直線DE解析式為y=k₁x+b₁，將D與E坐標代入求出k₁與b₁的值，即可確定出直線DE解析式．

解答：解：對于直線y=

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x+6，
令x=0，得到y(tǒng)=6；令y=0，得到x=-8，即E（-8，0），F（0，6），
（1）當點A與點F重合時，A（0，6），即AB=6，
∵AB：BC=3：4，
∴BC=8，
∴AD=BE=8，
又∵AD∥BE，
∴四邊形ADBE是平行四邊形；
∴D（8，6），
設直線DE解析式為y=kx+b（k、b為常數且k≠0），
將D（8，6），E（-8，0）代入得：

8k+b=6 -8k+b=0

，
解得：b=3，k=

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．
則直線DE解析式為y=

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8

x+3；
（2）四邊形ADBE仍然是平行四邊形，理由為：
設點A（m，

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m+6）即AB=

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m+6，OB=-m，即B（m，0），
∴BE=m+8，
又∵AB：BC=3：4，
∴BC=m+8，
∴AD=m+8，
∴BE=AD，
又∵BE∥AD，
∴四邊形ADBE仍然是平行四邊形；
又∵BC=m+8，
∴OC=2m+8，
∴D（2m+8，

3

4

m+6），
設直線DE解析式為y=k₁x+b₁（k₁、b₁為常數且k₁≠0），
將D與E坐標代入得：

3 4 m+6=(2m+8)k1+b1 0=-8k1+b1

，
解得：k₁=

3

8

，b₁=3，
則直線DE解析式為y=

3

8

x+3．

點評：此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，坐標與圖形性質，待定系數法確定一次函數解析式，平行四邊形的判定，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．