Question

15．如圖，Rt△ABO的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2$\sqrt{3}$，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）連接CD，求四邊形CDBO的面積．

Answer 1

分析 （1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理和三角形中位線的性質(zhì)求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）求得D的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AD的長，得出△ACD的面積，然后根據(jù)S_{四邊形CDBO}=S_△AOB-S_△ACD即可求得．

解答 解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=2，
作CE⊥OB于E，
∵∠ABO=90°，
∴CE∥AB，
∴OC=AC，
∴OE=BE=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，CE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴C（$\sqrt{3}$，1），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點(diǎn)C，
∴1=$\frac{k}{\sqrt{3}}$，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
（2）∵OB=2$\sqrt{3}$，
∴D的橫坐標(biāo)為2$\sqrt{3}$，
代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$得，y=$\frac{1}{2}$，
∴D（2$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴BD=$\frac{1}{2}$，
∵AB=2，
∴AD=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴S_{四邊形CDBO}=S_△AOB-S_△ACD=$\frac{1}{2}$OB•AB-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解決本題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．