【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC為一邊向外作等邊三角形ACD,點E為AB的中點,連結(jié)DE.
(1)證明DE∥CB;
(2)探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時,四邊形DCBE是平行四邊形.
【答案】
(1)證明:連結(jié)CE.
∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點,
∴CE= AB=AE.
∵△ACD是等邊三角形,
∴AD=CD.
在△ADE與△CDE中, ,
∴△ADE≌△CDE(SSS),
∴∠ADE=∠CDE=30°.
∵∠DCB=150°,
∴∠EDC+∠DCB=180°.
∴DE∥CB
(2)解:當(dāng)AC= 或AB=2AC時,四邊形DCBE是平行四邊形,
理由:∵AC= ,∠ACB=90°,
∴∠B=30°,
∵∠DCB=150°,
∴∠DCB+∠B=180°,
∴DC∥BE,又∵DE∥BC,
∴四邊形DCBE是平行四邊形.
【解析】(1)首先連接CE,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CE= AB=AE,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=CD,然后證明△ADE≌△CDE,進(jìn)而得到∠ADE=∠CDE=30°,再有∠DCB=150°可證明DE∥CB;(2)當(dāng)AC= 或AB=2AC時,四邊形DCBE是平行四邊形.根據(jù)(1)中所求得出DC∥BE,進(jìn)而得到四邊形DCBE是平行四邊形.
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【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E,BC的延長線于⊙O的切線AF交于點F.
(1)求證:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE的長.
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【題目】如圖,在左邊托盤A(固定)中放置一個重物,在右邊托盤B(可左右移動)中放置一定質(zhì)量的砝碼,可使得儀器左右平衡,改變托盤B與支撐點M的距離,記錄相應(yīng)的托盤B中的砝碼質(zhì)量,得到下表:
(1)把上表中(x,y)的各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描出其余的點,并用一條光滑曲線起來.觀察所畫的圖像,猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系,求出該函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)托盤B向左移動(不能超過點M)時,應(yīng)往托盤B中添加砝碼還是減少砝碼?為什么?
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【題目】如圖,P是∠BAC內(nèi)的一點,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分別為點E,F(xiàn),AE=AF. 求證:
(1)PE=PF;
(2)點P在∠BAC的角平分線上.
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【題目】已知反比例函數(shù)y=,當(dāng)x=-時,y=-6.
(1)這個函數(shù)的圖象位于哪些象限?y隨x的增大如何變化?
(2)當(dāng)<x<4時,求y的取值范圍.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點O與坐標(biāo)原點重合,A,C分別在坐標(biāo)軸上,點B的坐標(biāo)為(4,2),直線y=–x+3交AB,BC于點M,N,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點M,N.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點P在x軸上,且△OPM的面積與四邊形BMON的面積相等,求點P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E是射線CB上的一個動點,把△DCE沿DE折疊,點C的對應(yīng)點為C′.
(1)若點C′剛好落在對角線BD上時,BC′=;
(2)當(dāng)B C′∥DE時,求CE的長;
(3)若點C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時,求CE的長.
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【題目】某天早晨,張強(qiáng)從家跑步去體育鍛煉,同時媽媽從體育場晨練結(jié)束回家,途中兩人相遇,張強(qiáng)跑到體育場后發(fā)現(xiàn)要下雨,立即按原路返回,遇到媽媽后兩人一起回到家(張強(qiáng)和媽媽始終在同一條筆直的公路上行走).如圖是兩人離家的距離y(米)與張強(qiáng)出發(fā)的時間x(分)之間的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象信息解答下列問題:
(1)求張強(qiáng)返回時的速度;
(2)媽媽比按原速返回提前多少分鐘到家?
(3)請直接寫出張強(qiáng)與媽媽何時相距1000米?
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