【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A()和B(4,m),點P是線段AB上異于A、B的動點,過點PPCx軸于點D,交拋物線于點C.

(1)B點坐標為  ,并求拋物線的解析式;

(2)求線段PC長的最大值;

(3)若PAC為直角三角形,直接寫出此時點P的坐標.

【答案】(1)(4,6);y=2x2﹣8x+6(2);(3)P的坐標為(3,5)或().

【解析】

(1)已知B(4,m)在直線y=x+2上,可求得m的值,拋物線圖象上的A、B兩點坐標,可將其代入拋物線的解析式中,通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值.

(2)要弄清PC的長,實際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差.可設出P點橫坐標,根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標,進而得到關(guān)于PCP點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值.

(3)根據(jù)頂點問題分情況討論,若點P為直角頂點,此圖形不存在,若點A為直角頂點,根據(jù)已知解析式與點坐標,可求出未知解析式,再聯(lián)立拋物線的解析式,可求得C點的坐標;若點C為直角頂點,可根據(jù)點的對稱性求出結(jié)論.

解:(1)B(4,m)在直線y=x+2上,

m=4+2=6,

B(4,6),

故答案為:(4,6);

A(,),B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上,

,解得,

∴拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6;

(2)設動點P的坐標為(n,n+2),則C點的坐標為(n,2n2﹣8n+6),

PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6),

=﹣2n2+9n﹣4,

=﹣2(n﹣2+,

PC>0,

∴當n=時,線段PC最大且為

(3)∵△PAC為直角三角形,

i)若點P為直角頂點,則∠APC=90°.

由題意易知,PCy軸,∠APC=45°,因此這種情形不存在;

ii)若點A為直角頂點,則∠PAC=90°.

如圖1,過點A(,)作ANx軸于點N,則ON=,AN=

過點AAM⊥直線AB,交x軸于點M,則由題意易知,AMN為等腰直角三角形,

MN=AN=,

OM=ON+MN=+=3,

M(3,0).

設直線AM的解析式為:y=kx+b,

則:,解得,

∴直線AM的解析式為:y=﹣x+3

又拋物線的解析式為:y=2x2﹣8x+6

聯(lián)立①②式,

解得:(與點A重合,舍去),

C(3,0),即點C、M點重合.

x=3時,y=x+2=5,

P1(3,5);

iii)若點C為直角頂點,則∠ACP=90°.

y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2,

∴拋物線的對稱軸為直線x=2.

如圖2,作點A(,)關(guān)于對稱軸x=2的對稱點C,

則點C在拋物線上,且C(,).

x=時,y=x+2=

P2,).

∵點P1(3,5)、P2)均在線段AB上,

∴綜上所述,PAC為直角三角形時,點P的坐標為(3,5)或(,).

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(2)參考對上述問題的討論,解決下面的問題:

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