【題目】如圖,在等邊三角形,邊上分別任取一點,且,相交于點.下列四個結(jié)論:①若,則;②若,,則;③;④若,則的最小值為,其中正確的是(

A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③

【答案】B

【解析】

過點PPDBCAQ于點D,證出,即可判斷①;過點BBEACE,利用勾股定理求出PE,即可判斷②;利用SAS即可證出△ABP≌△CAQ,然后證出△BPA∽△APO,列出比例式,利用等量代入即可判斷③;以BA為邊作等邊△NAB,連接CN,利用四點共圓、銳角三角函數(shù)即可判斷④.

解:∵△ABC為等邊三角形

APAC=1:3

過點PPDBCAQ于點D

CQ=3PD

BQ=6PD

,故①正確;

過點BBEACE,

CE=AC=BC= 4

根據(jù)勾股定理可得BE=

PE=

CP=CEPE=5CP=CEPE=3,故②錯誤;

∵△ABC為等邊三角形

AB=CA,∠BAP=ACQ

在△ABP和△CAQ

∴△ABP≌△CAQ

∴∠PBA =PAOBP=AQ

∵∠BPA=APO

∴△BPA∽△APO

,

,故③正確;

BA為邊作等邊△NAB,連接CN

∴∠NAB=NBA=60°,NA=NB

∵∠PBA=QAC

∴∠NAO+∠NBO=NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA

=60°+∠BAQ60°+∠QAC

=120°+∠BAC

=180°

∴點N、A、O、B四點共圓,且圓心即為等邊△NAB的中心M,設(shè)CM與圓M的交點O′,CO′即為CO的最小值

NA=NBCA=CB

CN垂直平分AB

∴∠MAD=ACM=30°

∴∠MAC=MAD+∠BAC=90°

RtMAC中,AC=3,

MA=AC·tanACM=,CM=2AM=2

MO=MA=

CO=CMMO=

CO的最小值為,故④正確.

綜上:正確的有①③④

故選B.

練習(xí)冊系列答案
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