如圖,以△ABC的BC邊為直徑作圓O,分別交AC、AB于E、F兩點,過A作圓O的切線,切點為D,并且點E、F為劣弧的三等分點,求∠CAD的大�。�

【答案】分析:根據(jù)已知得出△ABC為等腰三角形,進而利用切割線定理求出AD=l,從而得出BD=r,即可得出∠ABC=∠DAB=30°,∠BAC=75°,得出答案.
解答:解:連接BE、BD、DF、OD,設圓O半徑為r,EC長為l,
∵E為弧CF的中點,
∴∠ABE=∠CBE,
又∵BE⊥CE,
∴△ABC為等腰三角形,
即AB=BC=2r,AE=EC=l,
∵E,F(xiàn)為弧CD的三等分點,
∴DF=EC=L,
∵AD,AC分別為⊙O的切線和割線,
∴AD2=AE•AC,即AD=l,
又∵△ADF∽△ABD,
=
即BD=r,
∵BD2=DO2+OB2,
∴∠DBO=45°,
∵∠DBF=∠FBE=∠EBC,
AB=BC,
∴∠ABC=∠DAB=30°,
∠BAC=75°,
∴∠CAD=105°.
點評:此題主要考查了切線的性質以及全等三角形的性質和圓周角定理,熟練利用切割線定理得出AD=l,BD=r是解題關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

26、如圖,以△ABC的邊AB、AC為邊的等邊三角ABD和等邊三角形ACE,四邊形ADFE是平行四邊形.
(1)當∠BAC滿足什么條件時,四邊形ADFE是矩形;
(2)當∠BAC滿足什么條件時,平行四邊形ADFE不存在;
(3)當△ABC分別滿足什么條件時,平行四邊形ADFE是菱形,正方形?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

12、如圖,以△ABC的三邊為邊,在BC的同側作三個等邊△ABD、△BEC、△ACF.
(1)判斷四邊形ADEF的形狀,并證明你的結論;
(2)當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADEF是菱形?是矩形?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

21、如圖,以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D,過D作⊙O的切線交AC于E,要使得DE⊥AC,則△ABC的邊必須滿足的條件是
AC=AB

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•玉林)如圖,以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓,經(jīng)過A,B兩點,且與BC邊交于點E,D為BE的下半圓弧的中點,連接AD交BC于F,若AC=FC.
(1)求證:AC是⊙O的切線:
(2)若BF=8,DF=
40
,求⊙O的半徑r.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,以△ABC的三邊為邊在BC的同一側分別作三個等邊三角形,即△ABD、△BCE、△ACF

(1)證明四邊形ADEF是平行四邊形.
(2)當△ABC滿足條件
∠BAC=150°
∠BAC=150°
時,四邊形ADEF為矩形.
(3)當△ABC滿足條件
∠BAC=60°
∠BAC=60°
時,四邊形ADEF不存在.
(4)當△ABC滿足條件
AB=AC且∠BAC≠60°(或AB=AC≠BC)
AB=AC且∠BAC≠60°(或AB=AC≠BC)
時,四邊形ADEF為菱形.

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