Question

已知拋物線y=-x²+2（m+1）x+m+3與x軸交于A、B兩點，且OA=2OB，求二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：計算題

分析：分類討論：當(dāng)A（-2a，0），B（a，0），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到-2a+a=2（m+1），-2a•a=-（m+3），消去a得到m的方程2•4（m+1）²=m+3，解得m=

-15± 65

16

（舍去正號）；當(dāng)A（2a，0），B（-a，0）時，同樣可解得m=

-15± 65

16

（舍去負(fù)號）；當(dāng)A（-2a，0），B（-a，0）或當(dāng)A（2a，0），B（a，0）時，用同樣的方法得到關(guān)于m的方程無解，然后寫出滿足條件的兩個二次函數(shù)解析式．

解答：解：當(dāng)A（-2a，0），B（a，0），則-2a+a=2（m+1），-2a•a=-（m+3），則a=-2（m+1），
∴2•4（m+1）²=m+3，解得m=

-15± 65

16

（由于m+1＜0，正號舍去），
∴此時拋物線的解析式為y=-x²+

1- 65

8

x+

33- 65

16

；
當(dāng)A（2a，0），B（-a，0），則2a-a=2（m+1），2a•（-a）=-（m+3），則a=2（m+1），
∴2•4（m+1）²=m+3，解得m=

-15± 65

16

（由于m+1＞0，負(fù)號舍去），
∴此時拋物線的解析式為y=-x²+

1+ 65

8

x+

33+ 65

16

；
當(dāng)A（-2a，0），B（-a，0），則-2a-a=2（m+1），2a•a=-（m+3），則a=-

2

3

（m+1），
∴2•

4

9

（m+1）²=-m-3，
整理得8m²+25m+35=0，此方程無解；
當(dāng)A（2a，0），B（a，0），則2a+a=2（m+1），2a•a=-（m+3），則a=

2

3

（m+1），
∴2•

4

9

（m+1）²=-m-3，
整理得8m²+25m+35=0，此方程無解，
綜上所述，二次函數(shù)的解析式為y=-x²+

1+ 65

8

x+

33+ 65

16

或y=-x²+

1- 65

8

x+

33- 65

16

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．