【題目】如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,點P是邊AD上的動點(點P不與點A、點D重合),點Q是邊CD上一點,連接PB、PQ,且∠PBC=∠BPQ.

⑴ 若tan∠PBC=4,求AP的長;

⑵ 是否存在點P,使得點Q恰好是邊CD的中點?若存在,求出AP的長;若不存在,請說明理由.⑶ 連接BQ,在PBQ中是否存在度數(shù)不變的角?若存在,指出這個角,并求出它的度數(shù);若不存在,請說明理由.

【答案】存在AP=存在,∠PBQ=45°

【解析】(1)根據(jù)∠PBC+∠ABP=∠ABP+∠APB=90°得出∠APB=∠PBC ,再由tan∠PBC=tan∠APB=4= ;(2) 延長PQ交BC延長線于點E.設PD=x, PBC=BPQ ,可得EB=EP ,再由△PDQ≌△ECQ 得到QP=RtPDQ中根據(jù)勾股定理可得出結(jié)論;(3)BH⊥PQ點,易證,△PAB≌△PHB,可得∠PBH=ABH,再由 RtBHQRtBCQ,可得HBQ=HBC進而得出結(jié)論即可.

(1)∵∠PBC+∠ABP=∠ABP+∠APB=90°, ∴∠APB=∠PBC=90°,在RT△ABP中,tan∠PBC=tan∠APB=4=;

⑵如圖1,存在

延長PQ交BC延長線于點E.設PD=x

∵∠PBC=∠BPQ,

∴EB=EP.

四邊形ABCD是正方形,

∴AD∥BC,

∴∠DPQ=∠E,.

PDQ和ECQ中,,

∴△PDQ≌△ECQ(AAS).

∴PD=CE,PQ=QE. ∴BE=EP=, ∴QP=

Rt△PDQ中,∵PD2+QD2=PQ2,

,解得

∴AP=AD﹣PD=.

⑶存在,∠PBQ=45°.

易證,△PAB≌△PHB,

∴∠ABP=∠HBP, ∴∠PBH=∠ABH.

易證,Rt△BHQ≌Rt△BCQ,

∴∠HBQ=∠CBQ, ∴∠HBQ=∠HBC,

∴∠PBQ=∠PBH+∠HBQ=(∠ABH+∠HBC)=∠ABC=45°.

練習冊系列答案
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(1)請畫出數(shù)軸,并標明A、B兩點;

(2)若點P、Q分別從點A、點B同時出發(fā),相向而行,點P、Q移動的速度分別為每秒4個單位長度和2個單位長度.問:當P、Q相遇于點C時,C所對應的數(shù)是多少?

(3)若點P、Q分別從點A、點B同時出發(fā),沿x軸正方向同向而行,點P、Q移動的速度分別為每秒4個單位長度和2個單位長度.問:當P、Q相遇于點D時,D所對應的數(shù)是多少?

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3)作出關于原點成中心對稱的,并直接寫出的坐標.

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②它的頂點坐標為(1,4);

③它與y軸的交點坐標為(0,3),與x軸的交點坐標為(-1,0)和(3,0);

④當x>0時,y隨x的增大而減小.

其中正確的個數(shù)為(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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(1)求OE 的長;

(2)求經(jīng)過O,D,C 三點的拋物線的表達式;

(3)一動點P從點C 出發(fā),沿CB以每秒2 個單位長的速度向點B運動,同時動點Q從E 點出發(fā),沿EC以每秒1個單位長的速度向點C運動,當點P到達點B時,兩點同時停止運動.設運動時間為t s,當t為何值時,DP=DQ.

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2)將圖甲中的折線統(tǒng)計圖補充完整.

3)求出圖乙中B等級所占圓心角的度數(shù).

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