Question

由于工程設計的需要，希望確定一條拋物線y=ax²+bx+4，它必須滿足下列要求：這條拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且∠ACB=∠ABC，AB=5．試問：是否存在滿足要求的拋物線？若存在，請求出它的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：首先根據拋物線y=ax²+bx+4與與y軸交于C點，確定C點的坐標值，并設A、B點的坐標分別為（x₁，0）和（x₂，0）．
根據坐標值求得線段AB、AC的長度，再利用等腰三角形的性質，得到AC=AB，從而解得x₁、x₂的值，A、B點的坐標值即可確定．再就A、B點坐標的取值討論具體的解析式．

解答：解：∵這條拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點
∴C點的坐標是（0，4），設A、B點的坐標分別為（x₁，0）和（x₂，0）
∴|AC|=

(x1-0)2+(0 -4)2

=

x12+16

，|AB|=

(x2-x1)2

=|x2-x1|
∵∠ACB=∠ABC
∴AC=AB，即

x12+16

=|x2-x1|=5
∴x₁=±3
①當x₁=3，x₂=8時，此時拋物線解析式為y=

1

6

x2 -

11

6

x+4
②當x₁=3，x₂=-2時，此時拋物線解析式為y=-

2

3

x2+

2

3

x+4
③當x₁=-3，當x₂=2時，此時拋物線解析式為y=

2

3

x2+

10

3

x+4
④當x₁=-3，當x₂=-8時，此時拋物線解析式為y=

1

6

x2 +

11

6

x+4
答：存在滿足要求的拋物線，這個拋物線解析式y(tǒng)=

1

6

x2 -

11

6

x+4或y=-

2

3

x2+

2

3

x+4或y=

2

3

x2+

10

3

x+4或y=

1

6

x2 +

11

6

x+4

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有利用待定系數法求拋物線的解析式和等腰三角形的性質．在確定拋物線解析式時要注意分析題意分情況討論結果．