Question

由于工程設(shè)計(jì)的需要，希望確定一條拋物線y=ax²+bx+4，它必須滿足下列要求：這條拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且∠ACB=∠ABC，AB=5．試問：是否存在滿足要求的拋物線？若存在，請(qǐng)求出它的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：∵這條拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，4），設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，0）和（x₂，0）
∴，
∵∠ACB=∠ABC
∴AC=AB，即=5
∴x₁=±3
①當(dāng)x₁=3，x₂=8時(shí)，此時(shí)拋物線解析式為y=
②當(dāng)x₁=3，x₂=-2時(shí)，此時(shí)拋物線解析式為y=
③當(dāng)x₁=-3，當(dāng)x₂=2時(shí)，此時(shí)拋物線解析式為y=
④當(dāng)x₁=-3，當(dāng)x₂=-8時(shí)，此時(shí)拋物線解析式為y=
答：存在滿足要求的拋物線，這個(gè)拋物線解析式y(tǒng)=或y=或y=或y=
分析：首先根據(jù)拋物線y=ax²+bx+4與與y軸交于C點(diǎn)，確定C點(diǎn)的坐標(biāo)值，并設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，0）和（x₂，0）．
根據(jù)坐標(biāo)值求得線段AB、AC的長(zhǎng)度，再利用等腰三角形的性質(zhì)，得到AC=AB，從而解得x₁、x₂的值，A、B點(diǎn)的坐標(biāo)值即可確定．再就A、B點(diǎn)坐標(biāo)的取值討論具體的解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式和等腰三角形的性質(zhì)．在確定拋物線解析式時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．