Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）分別求出圖中直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連接PO、PC，并把△POC沿C O翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線BC的解析式為：y=mx+n，有：
，
解得：m=1，n=-3；
∴直線BC：y=x-3．
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c中，得：
，
解得：b=-2，c=-3；
∴拋物線：y=x²-2x-3．

（2）由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，所以點(diǎn)P必在OC的垂直平分線上，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-，代入拋物線y=x²-2x-3中，得：
-=x²-2x-3，
解得 x₁=，x₂=（舍去）
∴點(diǎn)P（，-）．
分析：（1）已知B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可．
（2）由于四邊形POP′C為菱形，OC必為對(duì)角線，進(jìn)而可知OC的中垂線與y軸右邊的拋物線部分的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，且P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為OC長(zhǎng)的一半的相反數(shù)，最終可得P點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及圖形對(duì)稱變換，菱形的判定，點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，一元二次方程的求解．（2）題中，首先根據(jù)菱形的性質(zhì)確定點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵所在．