【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過點A(2,﹣3),與x軸負半軸交于點B,與y軸交于點C,且OC=3OB.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點D在y軸上,且∠BDO=∠BAC,求點D的坐標;
(3)點M在拋物線上,點N在拋物線的對稱軸上,是否存在以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3(2)D1(0,1),D2(0,﹣1)(3)存在以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,M(4,5)或(﹣2,5)或(0,﹣3)
【解析】試題分析:(1)待定系數(shù)法求解析式.(2) 連接AC,作BF⊥AC交AC的延長線于F,∠BAC=45°,利用特殊三角形求D點坐標.(3)分類討論 以AB為邊,則AB∥MN,AB=MN,如圖2,過M作ME⊥對稱軸于E,AF⊥x軸于F,求出M點坐標,以AB為對角線,BN=AM,BN∥AM,如圖3,求出M點坐標.
試題解析:
(1)由y=ax2+bx﹣3得C(0.﹣3),
∴OC=3,
∵OC=3OB,
∴OB=1,
∴B(﹣1,0),
把A(2,﹣3),B(﹣1,0)代入y=ax2+bx﹣3得,
∴,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)設(shè)連接AC,作BF⊥AC交AC的延長線于F,
∵A(2,﹣3),C(0,﹣3),
∴AF∥x軸,
∴F(﹣1,﹣3),
∴BF=3,AF=3,
∴∠BAC=45°,
設(shè)D(0,m),則OD=|m|,
∵∠BDO=∠BAC,
∴∠BDO=45°,
∴OD=OB=1,
∴|m|=1,
∴m=±1,
∴D1(0,1),D2(0,﹣1);
(3)設(shè)M(a,a2﹣2a﹣3),N(1,n),
①以AB為邊,則AB∥MN,AB=MN,如圖2,過M作ME⊥對稱軸于E,AF⊥x軸于F,
則△ABF≌△NME,
∴NE=AF=3,ME=BF=3,
∴|a﹣1|=3,
∴a=4或a=﹣2,
∴M(4,5)或(﹣2,5);
②以AB為對角線,BN=AM,BN∥AM,如圖3,
則N在x軸上,M與C重合,
∴M(0,﹣3),
綜上所述,存在以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,M(4,5)或(﹣2,5)或(0,﹣3).
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【題目】某校七年級組織數(shù)學嘉年華活動,共評出三個獎項,年級處購買了一些獎品進行表彰,相關(guān)統(tǒng)計結(jié)果如下表(不完整)所示:
一等獎 | 二等獎 | 三等獎 | 合計 | |
獲獎人數(shù)(單位:人) | 40 | |||
獎品單價(單位:元) | 12 | 9 | 6 | |
獎品金額(單位:元) | 300 |
已知二等獎的獲獎人數(shù)比一等獎的獲獎人數(shù)多5人.你能根據(jù)所給條件,分別求出三種獎項的獲獎人數(shù)嗎?請根據(jù)你所設(shè)的未知數(shù),先填表(代數(shù)式不必化簡),再列方程解答.
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【題目】平面直角坐標系xOy中,點P的坐標為(m+1,m-1).
(1)試判斷點P是否在一次函數(shù)y=x-2的圖象上,并說明理由;
(2)如圖,一次函數(shù)y=-x+3的圖象與x軸、y軸分別相交于A,B,若點P在△AOB的內(nèi)部,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于點D、E,過點D作⊙O的切線DF,交AC于點F.
(1)求證:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半徑為4,∠CDF=22.5°,求陰影部分的面積.
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【題目】用火柴棒按下列方式搭建三角形:
(1)當三角形個數(shù)為1時,需3根火柴棒;當三角形個數(shù)為2時,需5根火柴棒;則當三角形個數(shù)為100時,需火柴棒 根;當三角形個數(shù)為n時,需火柴棒 根(用含n的代數(shù)式表示);
(2)當火柴棒的根數(shù)為2019時,求三角形的個數(shù)?
(3)組成三角形的火柴棒能否為1000根,如果能,求三角形的個數(shù);如果不能,請說明理由.
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【題目】已知:如圖,在ABCD中,E、F分別是邊AD、BC的中點,AC分別交BE、DF于C、H.請判斷下列結(jié)論:(1)BE=DF;(2)AG=GH=HC;(3)EG=BG;(4)S△ABE=3S△AGE.其中正確的結(jié)論有( 。
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAD的角平分線AF交CD于點E,交BC的延長線于點F.
(1)求證:BF=CD;
(2)連接BE,若BE⊥AF,∠F=60°,,求的長.
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【題目】如圖,在數(shù)軸上點A表示數(shù)a,點C表示數(shù)c,且多項式x3+15x2y2﹣20的常數(shù)項是a,最高次項的系數(shù)是c.我們把數(shù)軸上兩點之間的距離用表示兩點的大寫字母一起標記.比如,點A與點B之間的距離記作AB.
(1)求a,c的值;
(2)動點B從數(shù)﹣6對應(yīng)的點開始向右運動,速度為每秒2個單位長度.同時點A,C在數(shù)軸上運動,點A,C的速度分別為每秒3個單位長度,每秒4個單位長度,設(shè)運動時間為t秒.
①若點A向右運動,點C向左運動,AB=BC.求t的值;
②若點A向左運動,點C向石運動,2AB﹣mBC的值不隨時間t的變化而改變,求出m的值.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB的平分線交AB于點D,作CD的垂直平分線,分別交AC、DC、BC于點E、G、F,連接DE、DF.
(1)求證:四邊形DFCE是菱形;
(2)若∠ABC=60,∠ACB=45°,BD=2,試求BF的長.
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