Question

如果一個(gè)數(shù)能表示成x²+2xy+2y²（x，y是整數(shù)），我們稱這個(gè)數(shù)為“好數(shù)”．
（1）判斷29是否為“好數(shù)”？
（2）寫出1，2，3，…，20中的“好數(shù)”．
（3）如果m，n都是“好數(shù)”，求證：mn是“好數(shù)”．

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)無理數(shù)的概念與運(yùn)算

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)x²+2xy+2y²=（x+y）²+y²可以得到好數(shù)特征，根據(jù)“好數(shù)”定義判斷29是否為“好數(shù)”．
（2）根據(jù)好數(shù)的定義判斷1，2，3，…，20中的“好數(shù)”．
（3）設(shè)m=x²+2xy+2y²，n=p²+2pq+2q²，化簡mn=[（x+y）（p+q）+qy]²+[q（x+y）-y（p+q）]²，令 u+v=（x+y）（p+q）+qy，v=q（x+y）-y（p+q），于是可以判斷出mn為“好數(shù)”．

解答：解：（1）x²+2xy+2y²=（x+y）²+y²，
特征：“好數(shù)”是“好數(shù)”就是兩個(gè)整數(shù)的平方和，
而29=5²+2²，
故29是“好數(shù)”，

（2）1，2，3，…，20中的“好數(shù)”的有1、2、4、5、8、9，10，13，16，17，18，20，

（3）m=x²+2xy+2y²，n=p²+2pq+2q²．則 mn=（x²+2xy+2y²）（p²+2pq+2q²）=[（x+y）²+y²][（p+q）²+q²]=[（x+y）（p+q）+qy]²+[q（x+y）-y（p+q）]²，
令 u+v=（x+y）（p+q）+qy，v=q（x+y）-y（p+q）．
那么 mn=（u+v）²+v²=u²+2uv+2v²，
因?yàn)閤，y，p，q均為整數(shù)，所以（x+y）（p+q）+qy，q（x+y）-y（p+q）也為整數(shù)，
所以u(píng)+v，v為整數(shù)，所以u(píng)，v為整數(shù)．因此mn為“好數(shù)”．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查有理數(shù)無理數(shù)的概念與運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是掌握“好數(shù)”的定義和完全平方式的知識(shí)，難度不大．