Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=3，BC=6，AB=3，正方形BEFG內(nèi)接于△ABC，點E在BC邊上，點F在對角線AC上，點G在AB邊上．
（l）求正方形BEFG的邊長；
（2）將（l）問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFG為正方形B′EFG，當(dāng)點B′與點C重合時停止平移，設(shè)平移的距離為t．
①當(dāng)t=

 

時，正方形B′EFG的頂點F落在CD上，此時點G

 

（填”在”或”不在”）直線AC上；
②在上述平移過程中，設(shè)正方形B′EFG與△ADC重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及寫明自變量t的取值范圍．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）證明△AGF∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解；
（2）①根據(jù)△CGF∽△CDA，求得FG的長，據(jù)此即可判斷；
②分0≤t≤2，2＜t≤4和4＜t≤6三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)三角形的面積公式即可求得函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）如圖①，
設(shè)正方形BEFG的邊長為x，則BG=GF=x，AG=3-x，
∵正方形BEFG內(nèi)接于△ABC，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴

GF

BC

=

AG

AB

．              
∵GF=x，BC=6，AG=3-x，AB=3，
∴

x

6

=

3-x

3

，
解得：x=2；

（2）①∵GF∥BC，
∴

FC

AC

=

BG

AB

=

2

3

，
又∵FG∥AD，
∴△CGF∽△CDA，
∴

FG

AD

=

FC

AC

=

2

3

，
則FG=2．
又∵正方形的邊長是2，
∴點G在AC上；

②如圖②，設(shè)AC交EF、FG于點M、N，
則FN=t，
∵GF∥BC
∴∠FNM=∠ACB，
∴tan∠FNM=

FM

FN

=tan∠ACB=

AB

BC

=

3

6

=

1

2

∴FM=

1

2

FN=

1

2

t，
∴S=S_△FNM=

1

2

FM•FN=

1

2

t•

1

2

t=

1

4

t²   （0≤t≤2）；

如圖③，設(shè)AC交EF于點M，交B′G于點H，
設(shè)CD交EF、FG于點P、Q，
則FN=t，F(xiàn)Q=NG=t-2，同上知，F(xiàn)M=

1

2

t，
GH=

1

2

（t-2），作DT⊥BC于T，則四邊形ABTD為矩形，
∴DT=AB=3，
BT=AD=3，
∴TC=BC-BT=6-3=3，
∴TC=DT，
∴∠DCB=45°，
∵GF∥BC
∴∠FQP=∠DCB=45°，
∴FP=FQ=t-2，
∴S=S_△FNM-S_△NGH-S_△FPQ=

1

4

t²-

1

2

（t-2）•

1

2

（t-2）-

1

2

×（t-2）²
=-

1

2

t²+3t-3    （2＜t≤4）；
如圖④，設(shè)AC交FG、B′G于點N、H，CD交FG于點Q，交B′G于點W，
同圖③中結(jié)論，NG=t-2，GH=

1

2

（t-2），
∠FQC=∠DGB′=45°，
∴WG=GQ=t-2-2=t-4，
WH=GH-GW=

1

2

（t-2）-（ t-4）=3-

1

2

t
又∵B′C=6-t．
∴S=S_△HWC=

1

2

WH•B′C=

1

2

（3-

1

2

t）×（6-t）
=

1

4

t²-3t+9（4＜t≤6）．

點評：本題考查了圖形的平移變換，是三角形的面積與函數(shù)的綜合題，正確對x的范圍進(jìn)行分類，正確利用三角形的面積公式求解是關(guān)鍵．