【題目】如圖,已知邊長為4的菱形ABCD中,AC=BC,E,F分別為AB,AD邊上的動點(diǎn),滿足BE=AF,連接EF交AC于點(diǎn)G,CE、CF分別交BD與點(diǎn)M,N,給出下列結(jié)論:①∠AFC=∠AGE;②EF=BE+DF;③△ECF面積的最小值為3,④若AF=2,則BM=MN=DN;⑤若AF=1,則EF=3FG;其中所有正確結(jié)論的序號是_____.
【答案】①③④
【解析】
由“SAS”可證△BEC≌△AFC,再證△EFC是等邊三角形,由外角的性質(zhì)可證∠AFC=∠AGE;由點(diǎn)E在AB上運(yùn)動,可得BE+DF≥EF;由等邊三角形的性質(zhì)可得△ECF面積的EC2,則當(dāng)EC⊥AB時,△ECF的最小值為3;由等邊三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可求MN=BD﹣BM﹣DN=,由平行線分線段成比例可求EG=3FG,即可求解.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD=4,
∵AC=BC,
∴AB=BC=CD=AD=AC,
∴△ABC,△ACD是等邊三角形,
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=∠DAC=60°,
∵AC=BC,∠ABC=∠DAC,AF=BE,
∴△BEC≌△AFC(SAS)
∴CF=CE,∠BCE=∠ACF,
∴∠ECF=∠BCA=60°,
∴△EFC是等邊三角形,
∴∠EFC=60°,
∵∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+∠AFE,∠AGE=∠AFE+∠CAD=60°+∠AFE,
∴∠AFC=∠AGE,故①正確;
∵BE+DF=AF+DF=AD,EF=CF≤AC,
∴BE+DF≥EF(當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時,BE+DF=EF),
故②不正確;
∵△ECF是等邊三角形,
∴△ECF面積的EC2,
∴當(dāng)EC⊥AB時,△ECF面積有最小值,
此時,EC=2,△ECF面積的最小值為3,故③正確;
如圖,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,
若AF=2,則FD=BE=AE=2,
∴點(diǎn)E為AB中點(diǎn),點(diǎn)F為AD中點(diǎn),
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,∠ABO=∠ABC=30°,
∴AO=AB=2,BO=AO=2,
∴BD=4,
∵△ABC是等邊三角形,BE=AE=2,
∴CE⊥AB,且∠ABO=30°,
∴BE=EM=2,BM=2EM,
∴BM=,
同理可得DN=,
∴MN=BD﹣BM﹣DN=,
∴BM=MN=DN,故④正確;
如圖,過點(diǎn)E作EH∥AD,交AC于H,
∵AF=BE=1,
∴AE=3,
∵EH∥AD∥BC,
∴∠AEH=∠ABC=60°,∠AHE=∠ACB=60°,
∴△AEH是等邊三角形,
∴EH=AE=3,
∵AD∥EH,
∴,
∴EG=3FG,故⑤錯誤,
故答案為:①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀題.
材料一:若一個整數(shù)m能表示成a2-b2(a,b為整數(shù))的形式,則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”.例如,3=22-12,9=32-02,12=42-22,則3,9,12都是“完美數(shù)”;再如,M=x2+2xy=(x+y)2-y2,(x,y是整數(shù)),所以M也是”完美數(shù)”.
材料二:任何一個正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解:n=p×q(p、q是正整數(shù),且p≤q).如果p×q在n的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對值最小,我們就稱p×q是n的最佳分解,并且規(guī)定F(n)=.例如18=1×18=2×9=3×6,這三種分解中3和6的差的絕對值最小,所以就有F(18)=.請解答下列問題:
(1)8______(填寫“是”或“不是”)一個完美數(shù),F(8)= ______.
(2)如果m和n都是”完美數(shù)”,試說明mn也是完美數(shù)”.
(3)若一個兩位數(shù)n的十位數(shù)和個位數(shù)分別為x,y(1≤x≤9),n為“完美數(shù)”且x+y能夠被8整除,求F(n)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)C(1,1)為圓心,2為半徑作圓,交x軸于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在優(yōu)弧上.
(1)求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)試確定經(jīng)過A、B且以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線解析式;
(3)在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D,使線段OP與CD互相平分?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是邊AB上一點(diǎn),以BD為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)E,且交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若BF=6,⊙O的半徑為5,求CE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2= 交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)兩點(diǎn).
觀察圖象可知:
①當(dāng)x=﹣3或1時,y1=y2;
②當(dāng)﹣3<x<0或x>1時,y1>y2,即通過觀察函數(shù)的圖象,可以得到不等式ax+b>的解集.
有這樣一個問題:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.
某同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)以上知識的經(jīng)驗,對求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集進(jìn)行了探究.
下面是他的探究過程,請將(2)、(3)、(4)補(bǔ)充完整:
(1)將不等式按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化:
當(dāng)x=0時,原不等式不成立;
當(dāng)x>0時,原不等式可以轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1>;
當(dāng)x<0時,原不等式可以轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1<;
(2)構(gòu)造函數(shù),畫出圖象
設(shè)y3=x2+4x﹣1,y4=,在同一坐標(biāo)系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象.
雙曲線y4=如圖2所示,請在此坐標(biāo)系中畫出拋物線y3=x2+4x﹣1;(不用列表)
(3)確定兩個函數(shù)圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)
觀察所畫兩個函數(shù)的圖象,猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為 ;
(4)借助圖象,寫出解集
結(jié)合(1)的討論結(jié)果,觀察兩個函數(shù)的圖象可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,則CD的長為( 。
A. B. 2 C. 2 D. 8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A(﹣2,0).
(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo),連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使△ACQ為等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某銷售商準(zhǔn)備在南充采購一批絲綢,經(jīng)調(diào)查,用10000元采購A型絲綢的件數(shù)與用8000元采購B型絲綢的件數(shù)相等,一件A型絲綢進(jìn)價比一件B型絲綢進(jìn)價多100元.
(1)求一件A型、B型絲綢的進(jìn)價分別為多少元?
(2)若銷售商購進(jìn)A型、B型絲綢共50件,其中A型的件數(shù)不大于B型的件數(shù),且不少于16件,設(shè)購進(jìn)A型絲綢m件.
①求m的取值范圍.
②已知A型的售價是800元/件,銷售成本為2n元/件;B型的售價為600元/件,銷售成本為n元/件.如果50≤n≤150,求銷售這批絲綢的最大利潤w(元)與n(元)的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的位置如圖所示,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2).延長CB交x軸于點(diǎn)A1,作正方形A1B1C1C;延長C1B1交x軸于點(diǎn)A2,作正方形A2B2C2C1,按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,第2022個正方形(正方形ABCD看作第1個)的面積為( )
A. 5()2020 B. 5()2022 C. 5()2021 D. 5()2022
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