Question

如圖①是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲，將這個游戲抽象為數(shù)學問題如圖②，已知鐵環(huán)的半徑為25cm，設鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)與地面接觸點為F，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)的接觸點為A，鐵環(huán)鉤與手的接觸點是B，鐵環(huán)鉤AB長75cm，BG表示點B距離地面的高度．

（1）當鐵環(huán)鉤AB與鐵環(huán)相切時（如圖③），切點A離地面的高度AM為5cm，求水平距離FG的長；
（2）當點A與點O同一水平高度時（如圖④），鐵環(huán)容易向前滾動，現(xiàn)將如圖③鐵環(huán)鉤的一端從A點提升到與O點同一水平高度的C點，鐵環(huán)鉤的另一端點從點B上升到點D，且水平距離FG保持不變，求BD的長（精確到1cm）．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質可求出OH，再由勾股定理得出AH，則△OHA∽△AIB，得

OA

OH

=

AB

AI

，代數(shù)數(shù)值即可求得答案；
（2）由四邊形OFGP是矩形，得出CP，在Rt△CPD中，由勾股定理得出DP，在Rt△AIB中，再由三角函數(shù)的定義得出IB，從而得出BD的長．

解答：解：（1）如圖四邊形HFGI，HFMA是矩形，
∵OH=OF-HF=OF-AM=25-5=20，
∴在Rt△OHA中，HA=

OA2-OH2

=15，

方法一∵AB是圓的切線，∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°，
得∠BAI=∠AOH，又∠OHA=∠AIB=90°，
∴△OHA∽△AIB，得

OA

OH

=

AB

AI

即

25

20

=

75

AI

，得AI=60（2分），
FG=HI=HA+AI=15+60=75（cm）；
方法二：∵AB是圓的切線，∴∠OAB=90°
∴∠OAH+∠BAI=∠OAH+∠AOH=90°，
得∠BAI=∠AOH，∴cos∠BAI=cos∠AOH=

OH

OA

=

20

25

=

4

5

，
在Rt△ABI中，AI=AB•cos∠BAI=75×

4

5

=60，
∴FG=HI=HA+AI=15+60=75（cm）

（2）如圖，四邊形OFGP是矩形，CP=OP-OC=FG-OC=75-25=50，
Rt△CPD中，DP=

CD2-CP2

=

752-502

=25

5

≈55.90；
Rt△AIB中，IB=AB•sin∠BAI=75×

3

5

=45，
BG=BI+AM=45+5=50，DG=DP+OF=55.90+25=80.90，
BD=DG-BG=80.90-50=30.90≈31（cm）．

點評：本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質以及解直角三角形的應用，是中考壓軸題，難度偏大．