Question

（2009•鄭州模擬）如圖，在△ABC中，∠B=30°，點P是AB上一點，AP=2BP，PQ⊥BC于Q，連接AQ，則cos∠AQC的值為

2 7

7

．

Answer 1

分析：過A作BC的垂線AD，根據(jù)PQ⊥BC，∠B=30°可知BP=2PQ，BQ=

3

PQ，故可得出△BPQ∽△BAD，再根據(jù)AP=2BP，可知AD=3PQ，DQ=2BQ=2

3

PQ，進而可得出

AD

DQ

的值，設(shè)AD=

3

x，則DQ=2x，由勾股定理可得出AQ的值，再由cos∠AQC=

DQ

AQ

即可得出結(jié)論．

解答：解：過A作BC的垂線AD，
∵PQ⊥BC，∠B=30°，
∴BP=2PQ，BQ=

3

PQ，
∵AD⊥BC，
∴△BPQ∽△BAD，
∵AP=2BP，
∴AD=3PQ，DQ=2BQ=2

3

PQ，
∴

AD

DQ

=

3PQ

2 3 PQ

=

3

2

，
設(shè)AD=

3

x，則DQ=2x，AQ=

AD2+DQ2

=

( 3 x)2+(2x)2

=

7

x，
∴cos∠AQC=

DQ

AQ

=

2x

7 x

=

2 7

7

．
故答案為：

2 7

7

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．