【題目】如圖1、圖2,在圓O中,,,將弦AB與弧AB所圍成的弓形包括邊界的陰影部分繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是.
點(diǎn)O到線段AB的距離是______;______;點(diǎn)O落在陰影部分包括邊界時(shí),的取值范圍是______;
如圖3,線段B與優(yōu)弧ACB的交點(diǎn)是D,當(dāng)時(shí),說明點(diǎn)D在AO的延長(zhǎng)線上;
當(dāng)直線與圓O相切時(shí),求的值并求此時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.
【答案】(1);120;;(2)見解析;(3)或;,.
【解析】
利用垂徑定理和特殊角的三角函數(shù)值解答;當(dāng)與OB重疊時(shí),取最小值;當(dāng)OB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與圓相交時(shí),交點(diǎn)為,來求的最大值;
連接AD,利用圓周角定理進(jìn)行證明;
利用切線的性質(zhì)求得的值,并利用弧長(zhǎng)公式求得相應(yīng)的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.
解:如圖1,過點(diǎn)O作于點(diǎn)D,
由垂徑定理知,,
又,
,
.
又,
.
如圖2,當(dāng)與OB重疊時(shí),;
當(dāng)OB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與圓相交,交點(diǎn)為,連接,則,此時(shí)是等邊三角形,
,
的取值范圍是:.
故答案是:;120;;
連接AD,,
為直徑,
所以D在AO的延長(zhǎng)線上;
當(dāng)與相切,
,
此時(shí)
或
或
當(dāng)時(shí),
運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度
當(dāng)時(shí),
運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線,將拋物線沿軸翻折,得到拋物線.
(1)求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)現(xiàn)將拋物線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)從左到右依次為,;將拋物線向右也平移個(gè)單位長(zhǎng)度,平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為,與軸交點(diǎn)從左到右依次為,.在平移過程中,是否存在以點(diǎn),,,為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)九年級(jí)學(xué)生步行到郊外春游.一班的學(xué)生組成前隊(duì),速度為4km/h ,二班的學(xué)生組成后隊(duì),速度為6km/h .前隊(duì)出發(fā)1h 后,后隊(duì)才出發(fā),同時(shí),后隊(duì)派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊(duì)之間不間斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò),他騎車的速度為12km/h.若不計(jì)隊(duì)伍的長(zhǎng)度,如圖,折線ABC ,A-B-C 分別表示后隊(duì),聯(lián)絡(luò)員在行進(jìn)過程中,離前隊(duì)的路程 與后隊(duì)行進(jìn)時(shí)間x(h) 之間的部分函數(shù)圖象.
(1) 求線段AB 對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2) 求點(diǎn)E 的坐標(biāo),并說明它的實(shí)際意義;
(3) 聯(lián)絡(luò)員從出發(fā)到他折返后第一次與后隊(duì)相遇的過程中,當(dāng)x 為何值時(shí),他離前隊(duì)的路程與他離后隊(duì)的路程相等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,并完成任務(wù).
三角形的外心
定義:三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心.
如圖1,直線l1,l2,l3分別是邊AB,BC,AC的垂直平分線.
求證:直線l1,l2,l3相交于一點(diǎn).
證明:如圖2,設(shè)l1,l2相交于點(diǎn)O,分別連接OA,OB,OC
∵l1是AB的垂直平分線,
∴OA=OB,(依據(jù)1)
∵l2是BC的垂直平分線,
∴OB=OC,
∴OA=OC,(依據(jù)2)
∵l3是AC的垂直平分線,
∴點(diǎn)O在l3上,(依據(jù)3)
∴直線l1,l2,l3相交于一點(diǎn).
(1)上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”“依據(jù)3”分別指什么?
(2)如圖3,直線l1,l2分別是AB,AC的垂直平分線,直線l1,l2相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O是△ABC的外心,l1交BC于點(diǎn)N,l2交BC于點(diǎn)N,分別連接AM、AN、OA、OB、OC.若OA=6cm,△OBC的周長(zhǎng)為22cm,求△AMN的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=5,BC=8,點(diǎn)P在AB上,AP=1.將矩形ABCD沿CP折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處.B'P、B′C分別與AD交于點(diǎn)E、F,則EF=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】換個(gè)角度看問題.
(原題重現(xiàn))
一列快車從甲地勻速駛往乙地,一列慢車從乙地勻速駛往甲地,兩車同時(shí)出發(fā),設(shè)慢車行駛的時(shí)間為x(h),兩車之間的距離為y(km),圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.
……
若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地,速度與第一列快車相同.在第一列快車與慢車相遇30分鐘后,第二列快車與慢車相遇.求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時(shí)?
(問題再研)
若設(shè)慢車行駛的時(shí)間為x(h),慢車與甲地的距離為s1(km),第一列快車與甲地的距離為s2(km),第二列快車與甲地的距離為s3(km),根據(jù)原題中所給信息解決下列問題:
(1)在同一直角坐標(biāo)系中,分別畫出s1、s2與x之間的函數(shù)圖象;
(2)求s3與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)求原題的答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(9,0),以AB為直徑作⊙O′,交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,連接AC、BC,過A、B、C三點(diǎn)作拋物線.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),∠BCE的平分線CD交⊙O′于點(diǎn)D,連結(jié)BD,求直線BD的解析式;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠PDB=∠CBD?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸,軸分別交于點(diǎn),B,與反比例函數(shù)圖象的一個(gè)交點(diǎn)為.
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)設(shè)直線與 軸,軸分別交于點(diǎn)C,D,且,直接寫出的值 .
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