Question

如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．
（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；
（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（-2，-1），設出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運用待定系數(shù)法可求它們解析式；
（2）因為P（-1，-2）為雙曲線Y=

2

X

上的一點，所以△OBQ、△OAP面積為1，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點Q在雙曲線上，即符合條件的點存在，是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的交點；
（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，而點P（-1，-2）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．

解答：解：（1）設正比例函數(shù)解析式為y=kx，
將點M（-2，-1）坐標代入得k=

1

2

，所以正比例函數(shù)解析式為y=

1

2

x，
同樣可得，反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；

（2）當點Q在直線OM上運動時，
設點Q的坐標為Q（m，

1

2

m），
于是S_△OBQ=

1

2

OB•BQ=

1

2

×

1

2

m×m=

1

4

m²，
而S_△OAP=

1

2

|（-1）×（-2）|=1，
所以有，

1

4

m²=1，解得m=±2，
所以點Q的坐標為Q₁（2，1）和Q₂（-2，-1）；

（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，
而點P（-1，-2）是定點，所以OP的長也是定長，
所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）
因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為Q（n，

2

n

），
由勾股定理可得OQ²=n²+

4

n2

=（n-

2

n

）²+4，
所以當（n-

2

n

）²=0即n-

2

n

=0時，OQ²有最小值4，
又因為OQ為正值，所以OQ與OQ²同時取得最小值，
所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=

5

，
所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2（OP+OQ）=2（

5

+2）=2

5

+4．（10分）

點評：此題難度稍大，考查一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強．要注意對各個知識點的靈活應用．