Question

（2012•相城區(qū)一模）如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點．
（1）求出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）觀察圖象，寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍；
（3）若點Q在第一象限中的雙曲線上運動，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（-2，-1），設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運用待定系數(shù)法可求它們解析式；
（2）根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點，得出交點兩側(cè)兩函數(shù)大小正好不同，結(jié)合圖象得出即可．
（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQOQ=PC，而點P（-1，-2）是定點，所以O(shè)P的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．

解答：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx（k≠0），
將點M（-2，-1）坐標代入得k=

1

2

，所以正比例函數(shù)解析式為y=

1

2

x，
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

k1

x

（k₁≠0），
將點M（-2，-1）坐標代入得k₁=2
所以反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；

（2）根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線上的一點，結(jié)合圖象得出：
當-2＜x＜0或x＞2時，正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值．

（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，
而點P（-1，-2）是定點，所以O(shè)P的長也是定長，
所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，
因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點Q的坐標為Q（n，

2

n

），
由勾股定理可得OQ²=n²+

4

n2

=n²+

4

n2

-4+4=（n-

2

n

）²+4，
所以當（n-

2

n

）²=0即n-

2

n

=0時，OQ²有最小值4，
又因為OQ為正值，所以O(shè)Q與OQ²同時取得最小值，
所以O(shè)Q有最小值2，由勾股定理得OP=

5

，
所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2（OP+OQ）=2（

5

+2）=2

5

+4．

點評：此題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強．要注意對各個知識點的靈活應(yīng)用．