Question

已知：等腰△ABC中AB=AC，等腰△ADE中AD=AE，B、A、E在同一條直線上，C、A、D在同一條直線上，點(diǎn)P在△ADE的內(nèi)部，且PB=PD，PC=PE．
（1）如圖1，若∠BAC=60°，則∠BPC+∠DPE=______；
（2）如圖2，若∠BAC=90°，則∠BPC+∠DPE=______；
（3）如圖3，若∠BAC=α，求∠BPC+∠DPE的值，并寫出求解過(guò)程．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，AD=AE，B、A、E在同一條直線上，C、A、D在同一條直線上，
∴BE=CD，
而PB=PD，PC=PE，
∴△BPE≌△DPC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC和△ADE為等邊三角形，
∴∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=60°，
∵∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=60°-∠1-∠4；∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（60°-∠2）-（60°-∠3）=60°+∠2+∠3，
∴∠BPC+∠DPE=60°×2=120°；

（2）同理可證得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BAC=90°，
∴∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=45°，
∴∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=90°-∠1-∠4，
∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（45°-∠2）-（45°-∠3）=90°+∠2+∠3，
∴∠BPC+∠DPE=180°；
故答案為120°，180°．

（3）由（1）可得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BAC=α，而AB=AC，PD=PE，
∴∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=90°-α，
∴∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=α-∠1-∠4，
∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（90°-α
-∠2）-（90°-α
-∠3）=α+∠2+∠3，
∴∠BPC+∠DPE=2α．
分析：（1）先易證得△BPE≌△DPC，得到∠1=∠2，∠3=∠4，由∠BAC=60°，得到△ABC和△ADE為等邊三角形，則∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=60°-∠1-∠4，∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（60°-∠2）-（60°-∠3）=60°+∠2+∠3，即可得到∠BPC+∠DPE；
（2）同一樣，只是∠BAC=90°，得到∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=45°，則∠BPC=180°-∠1-∠4-∠7-∠8=90°-∠1-∠4，∠DPE=180°-∠5-∠6=180°-（45°-∠2）-（45°-∠3）=90°+∠2+∠3，即可得到∠BPC+∠DPE；
（3）同前面的證法一樣，由∠BAC=α，而AB=AC，PD=PE，得到∠7=∠8=∠2+∠5=∠3+∠6=90°-α，即可得到∠BPC+∠DPE=2α；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：已知等腰三角形的頂角根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得到底角的度數(shù)．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)以及等邊三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)．