Question

．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 點(diǎn)D在邊AC上（不與A，C重合），連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點(diǎn).

（1）若過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1． 設(shè)，則k =        ；

（2）若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)F仍為BD中點(diǎn)，如圖2所示．求證：BE-DE=2CF；

（3）若BC=6，點(diǎn)D在邊AC的三等分點(diǎn)處，將線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F始終為BD中點(diǎn)，求線段CF長度的最大值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）k=1；  ……………………………2分

（2）如圖2，過點(diǎn)C作CE的垂線交BD于點(diǎn)G，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為Q.

由題意，tan∠BAC=，

∴ .

∵ D、E、B三點(diǎn)共線，

∴ AE⊥DB.

∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,

∴ ∠QBC=∠EAQ.

∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，

∴ ∠ECA=∠BCG.  

∴ .

∴ .

∴ GB=DE.

∵ F是BD中點(diǎn)，

∴ F是EG中點(diǎn).

在中，,

∴ . ……………………………5分

（3）情況1：如圖，當(dāng)AD=時(shí)，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)MF和CM，

∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6,

∴AC=12，AB=.

∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴CM=,

∵AD=，

∴AD=.

∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，

∴FM== 2.

 

∴當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大，此時(shí)CF=CM+FM=…6分

情況2：當(dāng)AD=時(shí)，取AB的中點(diǎn)M，

連結(jié)MF和CM，

類似于情況1，可知CF的最大值為.…………………………7分

綜合情況1與情況2，可知當(dāng)點(diǎn)D在靠近點(diǎn)C的

三等分點(diǎn)時(shí)，線段CF的長度取得最大值為.……………………8分

 

【解析】略