【題目】如圖,二次函數(shù)y=﹣mx2+4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),矩形ABCD的頂點(diǎn)BCx軸上,A、D在拋物線上,矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內(nèi)點(diǎn)A在點(diǎn)D的左側(cè).

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xy),試求矩形ABCD的周長(zhǎng)P關(guān)于自變量x的函數(shù)解析式,并求出自變量x的取值范圍;

(3)是否存在這樣的矩形ABCD,使它的周長(zhǎng)為9?試證明你的結(jié)論.

【答案】(1)y=﹣x2+2;(2)p=﹣(x+2)2+8,其中﹣2<x<2;(3)不存在,證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析: (1)由頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,2)可直接代入y=﹣mx2+4m,求得m=,即可求得拋物線的解析式;(2)由圖及四邊形ABCD為矩形可知ADx軸,長(zhǎng)為2x的據(jù)對(duì)值,AB的長(zhǎng)為A點(diǎn)的總坐標(biāo),由xy的關(guān)系,可求得p關(guān)于自變量x的解析式,因?yàn)榫匦?/span>ABCD在拋物線里面,所以x小于0,大于拋物線與x負(fù)半軸的交點(diǎn);(3)由(2)得到的p關(guān)于x的解析式,可令p=9,求x的方程,看x是否有解,有解則存在,無(wú)解則不存在,顯然不存在這樣的p

試題解析:

(1)∵二次函數(shù)y=﹣mx2+4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),

∴4m=2,

m=,

拋物線的解析式為:y=﹣x2+2;

(2)∵A點(diǎn)在x軸的負(fù)方向上坐標(biāo)為(xy),四邊形ABCD為矩形,BCx軸上,

ADx軸,

拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,

D、C點(diǎn)關(guān)于y軸分別與A、B對(duì)稱.

AD的長(zhǎng)為2x,AB長(zhǎng)為y,

周長(zhǎng)p=2y+4x=2(﹣x2+2)﹣4x=﹣(x+2)2+8.

A在拋物線上,且ABCD組成矩形,

x<2,

四邊形ABCD為矩形,

y>0,

x>﹣2.

p=﹣(x+2)2+8,其中﹣2<x<2.

(3)不存在,

證明:假設(shè)存在這樣的p,即:

9=﹣(x+2)2+8,

解此方程得:x無(wú)解,所以不存在這樣的p

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④若(x﹣y)2+M=(x+y)2成立,則M=4xy.
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填空:AEB的度數(shù)為 ;

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