Question

17．（1）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2）．在x軸上任取一點(diǎn)M，完成下列作圖步驟：
①連接AM，作線段AM的垂直平分線l₁，過M作x軸的垂線l₂，記l₁，l₂的交點(diǎn)為P．
②在x軸上多次改變點(diǎn)M的位置，用①的方法得到相應(yīng)的點(diǎn)P，把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來．
觀察畫出的曲線L，猜想它是我們學(xué)過的哪種曲線．
（2）對(duì)于曲線L上任意一點(diǎn)P，線段PA與PM有什么關(guān)系？設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），你能由PA與PM的關(guān)系得到x，y滿足的關(guān)系式嗎？你能由此確定曲線L是哪種曲線嗎？你得出的結(jié)論與（1）中你的猜想一樣嗎？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，多取幾個(gè)M點(diǎn)畫出圖形即可；
（2）連接AP，過點(diǎn)A作AN⊥PM，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AP=PM=y，再由勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示：曲線L是拋物線；

（2）連接AP，過點(diǎn)A作AN⊥PM，
∵l₁是線段AM的垂直平分線，P在l₁上，
∴PA=PM=y，
∵PM⊥x軸，
∴AN=x，P（x，y），PN=y-2，
∴AN²+PN²=AP²，
即x²+（y-2）²=y²，
∴y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1．
∴曲線L是拋物線是拋物線．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．