Question

【題目】如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)，，，且，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動，過點(diǎn)作，垂足為．

(1)直接寫出線段，及半徑的長：

(2)設(shè)，． 求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式：

(3)當(dāng)與相切時，求相應(yīng)的值．

Answer 1

【答案】（1），，的半徑長為1；（2）（），（）；（3）的值為或1．

【解析】

（1）由勾股定理求AC的長度；設(shè)⊙O的半徑為r，則r=（AC+BC-AB）；根據(jù)圓的切線定理、正方形的判定定理知四邊形CEOF是正方形；然后由正方形的性質(zhì)證得CF=OF=1，則由圖中線段間的和差關(guān)系即可求得AD的長度；

（2）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時，通過相似三角形△AHP∽△ACB的對應(yīng)邊成比例知，，將“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長線上時，同理，利用相似三角形的性質(zhì)求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）根據(jù)題意，可分成兩種情況進(jìn)行①當(dāng)點(diǎn)在線段上時，與相切；②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，與相切；結(jié)合圖形和所學(xué)的性質(zhì)，即可求得y值．

解：（1）如圖1，連接AO、DO．設(shè)⊙O的半徑為r．

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=，

則⊙O的半徑r=（AC+BC-AB）=×（4+3-5）=1；

∵CE、CF是⊙O的切線，∠ACB=90°，

∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，OF=OE，

∴四邊形CEOF是正方形，

∴CF=OF=1；

又∵AD、AF是⊙O的切線，

∴AF=AD；

∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，

即AD=3；

∴，，的半徑長為1．

（2）①如圖，若點(diǎn)在線段上時，

在中，，，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴

∴

∴，

∴與的函數(shù)關(guān)系式是：（）；

②同理，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，

，此時

則，有

∴，即與的函數(shù)關(guān)系式是：（）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時，如圖2，與相切．

∵，，

∴四邊形是正方形，

∴；

由（1）知，四邊形是正方形，

，

∴，即；

即，解得；

②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，如圖，

∴與相切，此時．

綜上所示，當(dāng)與相切時，的值為或1．