數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)時曾經(jīng)研究過這樣一個問題,1+2+3+…+10=?
經(jīng)過研究,這個問題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=
1
2
n(n+1),其中n為正整數(shù),現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題:1×2+2×3+…+n(n+1)=?
觀察下面三個特殊的等式:
1×2=n(1×2×3-0×1×2)
2×3=x(2×3×4-1×2×3)
3×4=n(3×4×5-2×3×4)
將這三個等式的兩邊相加,可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20.
讀完這段材料,請你計算:
(1)1×2+2×3+…+100×101=______;(直接寫出結(jié)果)
(2)1×2+2×3+…+n(n+1);(寫出計算過程)
(3)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=______.
(1)∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=
1
3
×4×5=20,
∴1×2+2×3+…+100×101=
1
3
×100×101×102=343400;

(2)∵1×2=n(1×2×3-0×1×2)=
1
3
(1×2×3-0×1×2),
2×3=x(2×3×4-1×2×3)=
1
3
(2×3×4-1×2×3),
3×4=n(3×4×5-2×3×4)=
1
3
(3×4×5-2×3×4),

n(n+1)=
1
3
[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],
∴1×2+2×3+…+n(n+1)=
1
3
[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],
=
1
3
n(n+1)(n+2);

(3)根據(jù)(2)的計算方法,1×2×3=n(1×2×3×4-0×1×2×3)=
1
4
(1×2×3×4-0×1×2×3),
2×3×4=x(2×3×4×5-1×2×3×4)=
1
4
(2×3×4×5-1×2×3×4),

n(n+1)(n+2)=
1
4
[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],
∴1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=
1
4
(1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],
=
1
4
n(n+1)(n+2)(n+3).
故答案為:(1)343400;(2)
1
3
n(n+1)(n+2);(3)
1
4
n(n+1)(n+2)(n+3).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)時曾經(jīng)研究過這樣一個問題,1+2+3+…+10=?
經(jīng)過研究,這個問題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=
1
2
n(n+1),其中n為正整數(shù),現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題:1×2+2×3+…+n(n+1)=?
觀察下面三個特殊的等式:
1×2=n(1×2×3-0×1×2)
2×3=x(2×3×4-1×2×3)
3×4=n(3×4×5-2×3×4)
將這三個等式的兩邊相加,可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20.
讀完這段材料,請你計算:
(1)1×2+2×3+…+100×101=
343400
343400
;(直接寫出結(jié)果)
(2)1×2+2×3+…+n(n+1);(寫出計算過程)
(3)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=
1
4
n(n+1)(n+2)(n+3)
1
4
n(n+1)(n+2)(n+3)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:廣東省期中題 題型:探究題

數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)時曾經(jīng)研究過這樣一個問題,1+2+3+…+10=?
經(jīng)過研究,這個問題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=xn(n+1),其中n為正整數(shù),現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題:1×2+2×3+…+n(n+1)=? 觀察下面三個特殊的等式:
1×2=n(1×2×3﹣0×1×2)
2×3=x(2×3×4﹣1×2×3)
3×4=n(3×4×5﹣2×3×4)
將這三個等式的兩邊相加,可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20.讀完這段材料,請你計算:
(1)1×2+2×3+…+100×101=_________;(直接寫出結(jié)果)
(2)1×2+2×3+…+n(n+1);(寫出計算過程)
(3)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=_________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:湖北省期中題 題型:解答題

閱讀材料,數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)時曾經(jīng)研究過這樣一個問題,1+2+3+…+10=?
經(jīng)過研究,這個問題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=n(n+1),其中n為正整數(shù),現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題:1×2+2×3+…+n(n+1)=?
觀察下面三個特殊的等式:
1×2=(1×2×3-0×1×2)
2×3=(2×3×4-1×2×3)
3×4=(3×4×5-2×3×4)
將這三個等式的倆邊相加,可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20;
讀完這段材料,請你計算:
(1)1×2+2×3+…+100×101;(只需寫出結(jié)果)
(2)1×2+2×3+…+n(n+1);(寫出計算過程)
(3)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)。(只需寫出結(jié)果)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

閱讀材料,數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)時曾經(jīng)研究過這樣一個問題,1+2+3+…+10=?

經(jīng)過研究,這個問題的一般性結(jié)論是1+2+3+…+n=n(n+1),其中n為正整數(shù),現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題:1×2+2×3+…+ n(n+1)=?

觀察下面三個特殊的等式:

1×2=(1×2×3-0×1×2)

2×3=(2×3×4-1×2×3)

3×4=(3×4×5-2×3×4)

將這三個等式的倆邊相加,可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20.

讀完這段材料,請你計算:

(1)1×2+2×3+…+100×101;(只需寫出結(jié)果)(2分)

(2)1×2+2×3+…+ n(n+1);(寫出計算過程) (5分)

(3)1×2×3+2×3×4+…+ n(n+1)(n+2).(只需寫出結(jié)果)(3分)

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