Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，-3），B（4，5）．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）如果此拋物線的頂點(diǎn)為C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后的點(diǎn)為D，此拋物線在A，B兩點(diǎn)之間的部分為圖象W（包含A，B兩點(diǎn)），經(jīng)過點(diǎn)D的直線為l：y=mx+n．如果直線l與圖象W有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接待定系數(shù)法列出b和c得二元一次方程組，求出b和c得值即可；
（2）拋物線的一般解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，進(jìn)而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分別求出直線l經(jīng)過D和點(diǎn)C時(shí)、D和點(diǎn)A時(shí)，D和點(diǎn)B時(shí)m得值，綜合得到m得取值范圍．

解答 解：（1）點(diǎn)A、B在拋物線y=x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3=c}\\{5=16+4b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-4）；
（3）∵點(diǎn)C（1，-4），
∴點(diǎn)D（-1，-4），
當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)D和點(diǎn)C時(shí)，m=0，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D和點(diǎn)A時(shí)，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=-4}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
解得m=1，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D和點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)D（-1，-4），B（4，5），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=-4}\\{4m+n=5}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{9}{5}$，
綜上所述，m得取值范圍是m=0，1＜m≤$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式．在求有關(guān)于平移的題目時(shí)，一定要數(shù)形結(jié)合，這樣可以使抽象的問題變得具體化，降低了解題的難度與梯度．