Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一底角為60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x軸的正半軸上，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），對(duì)角線BD平分∠ABC，一動(dòng)點(diǎn)P在BD上以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由B→D運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與B，D重合）．過P作PE⊥BD交AB于點(diǎn)E，交線段BC（或CD）于點(diǎn)F．
（1）用含m的代數(shù)式表示線段AD的長(zhǎng)是

 

；
（2）當(dāng)直線PE經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，它的解析式為y=

3

x-2

3

，求m的值；
（3）在上述結(jié)論下，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，△AEF的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；并寫出t為何值時(shí)，S取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可以證明∠ADB=90°，而∠ABD=30°，則AD=

1

2

AB．
（2）當(dāng)直線PE過點(diǎn)C時(shí)，易證△CEB為等邊三角形，因而C的坐標(biāo)可以用m表示出來，把C的坐標(biāo)代入函數(shù)y=

3

x-2

3

就可以求出m的值．
（3）本題應(yīng)分點(diǎn)F在線段BC上和點(diǎn)F在線段DC上兩種情況進(jìn)行討論．當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上，△FEB為等邊三角形；而點(diǎn)F在線段DC上時(shí)，△FEB的面積S=

1

2

AE•FG．而AE、FG可以用t表示出來．因而就可以得到函數(shù)解析式．則求面積的最值的問題就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．

解答：解：（1）

1

2

m．（3分）

（2）如圖①，當(dāng)直線PE過點(diǎn)C時(shí)，解析式為：y=

3

x-2

3

，
令y=0，得0=

3

x-2

3

．
解得x=2．
∴點(diǎn)E（2，0）．（5分）
∵∠DAB=∠ABC=60°，BD平分∠ABC．
∴∠ADB=180°-60°-30°=90°，
∵EP⊥BD，
∴EP∥AD．
∴∠CEB=∠DAB=∠ABC=60度．
∴△CEB為等邊三角形．
∴EB=BC=AD=

1

2

m．
∵AB=m，
∴AE=

1

2

m=2，
∴m=4．（7分）

（3）由m=4，可知B（4，0），D（1，

3

），C（3，

3

），
在Rt△BPE中，EB=

BP

sin60°

=

t

3 2

=

2

3

t=

2 3

3

t．
∴AE=4-

2 3

3

t．（8分）
過F作FG⊥AB于點(diǎn)G．
下面分兩種情況：
①點(diǎn)F在線段BC上，如圖②．
∵△FEB為等邊三角形，
∴FG=BP=t．
∴S=

1

2

AE•FG=

1

2

（4-

2 2

3

t）•t=-

3

3

t2+2t=-

3

3

（t-

3

）²+

3

（0＜t≤

3

）．（10分）
②點(diǎn)F在線段DC上，如圖③，則FG=

3

．
∴S=

1

2

AE•FG=

1

2

•（4-

2 2

3

t）•

3

=-t+2

3

（

3

＜t≤2

3

）（11分）
綜合①，②得：當(dāng)t=

3

時(shí)，S_最大=

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要是函數(shù)與梯形的性質(zhì)相結(jié)合的問題．難度比較大．