Question

15．在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=1，BD⊥BC，BD=BC，CF平分∠BCD交BD、AD于E、F，則△EDF的面積為（　�。�

• A． 3$\sqrt{2}$-4
• B． 3$\sqrt{2}$-3
• C． 3$\sqrt{2}$-2
• D． 3$\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 過點B作BM⊥CD于點M，過點E作EN⊥CD于點N，由此可得出△BCD、△END為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可用CD的長表示長BM、BD的長，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可得出AD、BD以及CD的長，再根據(jù)角平分線以及相似三角形的性質(zhì)即可求出FD、DN的長，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：過點B作BM⊥CD于點M，過點E作EN⊥CD于點N，如圖所示．
∵BD⊥BC，BD=BC，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴CD=2BM=$\sqrt{2}$BD．
在Rt△ABD中，AB=1，AD=$\frac{1}{2}$CD，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
∴BD²=AB²+AD²，
∴CD=2，BC=BD=$\sqrt{2}$，AD=BM=1．
∵△BCD為等腰直角三角形，EN⊥CD，
∴△END為等腰直角三角形，
∴EN=DN．
∵CF平分∠BCD，BD⊥BC，EN⊥CD，
∴EN=EB，CN=BC=$\sqrt{2}$，
∴EN=DN=2-$\sqrt{2}$．
∵AB∥CD，∠A=90°，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CD，
∴△ENC∽△FDC，
∴$\frac{EN}{FD}=\frac{CN}{CD}$，
∴FD=$\frac{EN•CD}{CN}$=2$\sqrt{2}$-2，
∴S_△EDF=$\frac{1}{2}$FD•DN=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$-2）×（2-$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$-4．
故選A．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出FD、DN的長度．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用相似三角形的性質(zhì)找出邊與邊之間的關(guān)系是關(guān)鍵．