【題目】如圖1所示,已知拋物線的頂點(diǎn)為D,與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),E為對(duì)稱軸上的一點(diǎn),連接CE,將線段CE繞點(diǎn)E按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在y軸上.

1)直接寫出D點(diǎn)和E點(diǎn)的坐標(biāo);

2)點(diǎn)F為直線C′E與已知拋物線的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)H是拋物線上CF之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若過(guò)點(diǎn)H作直線HGy軸平行,且與直線C′E交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m0m4),那么當(dāng)m為何值時(shí),=56?

3)圖2所示的拋物線是由向右平移1個(gè)單位后得到的,點(diǎn)T5,y)在拋物線上,點(diǎn)P是拋物線上OT之間的任意一點(diǎn),在線段OT上是否存在一點(diǎn)Q,使△PQT是等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1D2,9),E2,3);(2,;(3)(1,1)或(3,3)或(2,2).

【解析】

試題(1)把拋物線配方,即可得到頂點(diǎn)為D的坐標(biāo),然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,m),點(diǎn)C′的坐標(biāo)是(0,n),根據(jù)△CEC′是等腰直角三角形,求出E點(diǎn)的坐標(biāo);

2)令拋物線的y=0,可求得A、B的坐標(biāo),然后再根據(jù)=56,得到:,然后再證明△HGM∽△ABN,,從而可證得,所以HG=5,設(shè)點(diǎn)Hm,﹣m2+4m+5),Gm,m+1),最后根據(jù)HG=5,列出關(guān)于m的方程求解即可;

3)分別根據(jù)∠P、∠Q∠T為直角畫出圖形,然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可.

試題解析:(1拋物線=,∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,9),∵E為對(duì)稱軸上的一點(diǎn),點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是2,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,m),點(diǎn)C′的坐標(biāo)是(0,n),將線段CE繞點(diǎn)E按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在y軸上,∴△CEC′是等腰直角三角形,,解得:(舍去),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3),點(diǎn)C′的坐標(biāo)是(01).

綜上,可得D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,9),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3).

2)如圖1所示:

令拋物線y=0得:,解得:,所以點(diǎn)A﹣1,0),B5,0).設(shè)直線C′E的解析式是,將E2,3),C′0,1),代入得,解得:,直線C′E的解析式為,聯(lián)立得:,解得:,或點(diǎn)F得坐標(biāo)為(4,5),點(diǎn)A﹣10)在直線C′E上.直線C′E的解析式為,∴∠FAB=45°.過(guò)點(diǎn)B、H分別作BN⊥AF、HM⊥AF,垂足分別為N、M∴∠HMN=90°∠ADN=90°,又∵∠NAD=∠HNM=45°,∴△HGM∽△ABN,,=56,,即,∴HG=5.設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m,m+1),.解得:,;

3)由平移的規(guī)律可知:平移后拋物線的解析式為=.將x=5代入得:y=5點(diǎn)T的坐標(biāo)為(5,5).設(shè)直線OT的解析式為,將x=5,y=5代入得;k=1,直線OT的解析式為

如圖2所示:當(dāng)PT∥x軸時(shí),△PTQ為等腰直角三角形,

y=5代入拋物線得:,解得:,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,5).將x=1代入得:y=1,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(11);

如圖3所示:

可知:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(15).∵△PTQ為等腰直角三角形,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3,將x=3代入得;y=3,點(diǎn)Q得坐標(biāo)為(3,3);

如圖4所示:

設(shè)直線PT解析式為,直線PT⊥QT,∴k=﹣1,將k=﹣1x=5,y=5代入得:b=10,直線PT的解析式為.聯(lián)立得:,解得:,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,將x=2代入得,y=2點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,2).

綜上所述:點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1)或(33)或(2,2).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1sec(,3.14)=________,sec(,)=__________;

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A. 拋擲一枚普通骰子出現(xiàn)1點(diǎn)朝上的機(jī)會(huì)

B. 拋擲一枚啤酒瓶蓋出現(xiàn)蓋面朝上的機(jī)會(huì)

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