Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+C與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E．

（1）求拋物線的解析式及E點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且∠BPD=∠BCA，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣2，4），若點(diǎn)Q在該拋物線的對(duì)稱軸上，以Q為圓心的圓過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且和直線OF相切，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，0）；（2）（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；（3）（﹣2， ）或（﹣2，）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y=﹣x2+bx+C與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（﹣3，0），利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，配方后即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且∠BPD=∠BCA，分情況結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行求解即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意可知點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離，從而可以得到點(diǎn)Q到直線OF的距離，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而可以解答本題．

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（﹣3，0），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣4x﹣3，

∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0）；

（2）如圖1所示，

∵y=﹣x2﹣4x﹣3，點(diǎn)A（﹣1，0），B（﹣3，0），

∴點(diǎn)C（0，﹣3），

∴AB=（﹣1）﹣（﹣3）=2，AC=，OC=3，BC=3，

作AF⊥BC于點(diǎn)F，

則，

即，

解得，AF=，

∴BF=，

∴CF=2，

∴tan∠ACB=，

設(shè)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣2，p），

∵∠BPD=∠BCA，

∴tan∠BPD=，

∵BE=1，

∴，

解得，P1E=2，

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣2，2），

同理可得，點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)F（﹣2，4）的直線的解析式為y=kx，

4=﹣2k，得k=﹣2，

∴直線OF的解析式為y=﹣2x，

當(dāng)Q1在x軸上方時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（﹣2，t），如圖2所示，

∵以Q為圓心的圓過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且和直線OF相切，

∴Q1A=，tan∠F=，

∴sin∠F=，

∴=，

即=，

解得，t=或t=（舍去），

同理可得，當(dāng)Q2在x軸下方的位置時(shí)，t=，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，）或（﹣2，）．