Question

4．如圖，直線AB，CD被EF所截，∠1+∠2=180°，EM，F(xiàn)N分別平分∠BEF和∠CFE．
（1）判定EM與FN之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論我們可以得到一個命題：
如果兩條直線平行，那么內(nèi)錯角的角平分線互相平行．
（3）由此可以探究并得到：
如果兩條直線平行，那么同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直．

Answer 1

分析 （1）由∠1+∠2=180°可得出∠1=∠EFD，由“同位角相等，兩直線平行”可得出AB∥CD，再由平行線的性質(zhì)即可得出∠BEF=∠CFE，進而得出∠3=∠4，依據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可證出AB∥CD；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論即可得出命題：如果兩條直線平行，那么內(nèi)錯角的角平分線互相平行；
（3）根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”結(jié)合角平分線的性質(zhì)即可得出命題：如果兩條直線平行，那么同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直．

解答 解：（1）EM∥FN．
證明：∵∠1+∠2=180°，∠EFD+∠2=180°，
∴∠1=∠EFD，
∴AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE．
∵EM，F(xiàn)N分別平分∠BEF和∠CFE，
∴∠3=∠4，
∴EM∥FN．
（2）由（1）可知EM∥FN，
∴可得出命題：如果兩條直線平行，那么內(nèi)錯角的角平分線互相平行．
故答案為：平行；平行．
（3）由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”可得出：
如果兩條直線平行，那么同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直．
故答案為：平行；垂直．

點評 本題考查了命題與定理、平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）依據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”證出AB∥CD；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出命題；（3）根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出命題．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)兩直線平行找出相等（或互補）的角是關(guān)鍵．