【題目】【操作發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,為等邊三角形,先將三角板中的角與重合,再將三角板繞點按順時針方向旋轉(旋轉角大于且小于).旋轉后三角板的一直角邊與交于點.在三角板斜邊上取一點,使,線段上取點,使,連接,.

的度數(shù);

相等嗎?請說明理由;

【類比探究】

(2)如圖2,為等腰直角三角形,,先將三角板的角與重合,再將三角板繞點按順時針方向旋轉(旋轉角大于且小于).旋轉后三角板的一直角邊與交于點.在三角板另一直角邊上取一點,使,線段上取點,使,連接,.請直接寫出探究結果:

的度數(shù);

線段之間的數(shù)量關系.

【答案】(1)120°;DE=EF;理由見解析;(2)90°;AE2+DB2=DE2理由見解析.

【解析】

試題分析:(1)由等邊三角形的性質得出AC=BC,BAC=B=60°,求出ACF=BCD,證明ACF≌△BCD,得出CAF=B=60°,求出EAF=BAC+CAF=120°;

證出DCE=FCE,由SAS證明DCE≌△FCE,得出DE=EF即可;

(2)由等腰直角三角形的性質得出AC=BC,BAC=B=45°,證出ACF=BCD,由SAS證明ACF≌△BCD,得出CAF=B=45°,AF=DB,求出EAF=BAC+CAF=90°;

證出DCE=FCE,由SAS證明DCE≌△FCE,得出DE=EF;在RtAEF中,由勾股定理得出AE2+AF2=EF2,即可得出結論.

試題解析:(1)①∵△ABC是等邊三角形,

AC=BC,BAC=B=60°,

∵∠DCF=60°,

∴∠ACF=BCD,

ACF和BCD中,

∴△ACF≌△BCD(SAS),

∴∠CAF=B=60°,

∴∠EAF=BAC+CAF=120°;

DE=EF;理由如下:

∵∠DCF=60°,DCE=30°,

∴∠FCE=60°﹣30°=30°,

∴∠DCE=FCE,

DCE和FCE中,

∴△DCE≌△FCE(SAS),

DE=EF;

(2)①∵△ABC是等腰直角三角形,ACB=90°,

AC=BC,BAC=B=45°,

∵∠DCF=90°,

∴∠ACF=BCD,

ACF和BCD中,

,

∴△ACF≌△BCD(SAS),

∴∠CAF=B=45°,AF=DB,

∴∠EAF=BAC+CAF=90°;

AE2+DB2=DE2,理由如下:

∵∠DCF=90°,DCE=45°,

∴∠FCE=90°﹣45°=45°,

∴∠DCE=FCE,

DCE和FCE中,

∴△DCE≌△FCE(SAS),

DE=EF,

在RtAEF中,AE2+AF2=EF2,

AF=DB,

AE2+DB2=DE2

練習冊系列答案
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例如:圖1,PABC的內部,PBC=A,PCB=ABC,BCP∽△ABC,故PABC的自相似點.

請你運用所學知識,結合上述材料,解決下列問題:

在平面直角坐標系中,M曲線C上的任意一點,點Nx軸正半軸上的任意一點.

(1) 如圖2,點P是OM上一點,ONP=M, 試說明點P是MON的自相似點; M的坐標是,N的坐標是時,求點P 的坐標;

(2) 如圖3,當M的坐標是,N的坐標是時,求MON的自相似點的坐標;

(3) 是否存在點M和點N,使MON無自相似點,?若存在,請直接寫出這兩點的坐標;若不存在,請說明理由.

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