Question

【題目】探究

（1）如圖①，在等腰直角三角形中，，作交于點，點為射線上一點，以點為旋轉中心將線段逆時針旋轉90°得到線段，連接交射線于點，連接、．

　　　　　　　　

填空：

①線段、的數(shù)量關系為___________．

②線段、的位置關系為___________．

推廣：

（2）如圖②，在等腰三角形中，，作交于點，點為外部射線上一點，以點為旋轉中心將線段逆時針旋轉度得到線段，連接、、請判斷（1）中的結論是否成立，并說明理由．

應用：

（3）如圖③，在等邊三角形中，．作交于點，點為射線上一點，以點為旋轉中心將線段逆時針旋轉60°得到線段，連接交射線于點，連接、．當以、、為頂點的三角形與全等時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】(1) BD=BE, BC⊥DE；(2) 結論：（1）中的結論仍然成立,理由見解析；（3）或或4．

【解析】

(1)如圖①中，只要證明△CBD≌△CBE（SAS），再運用全等三角形的性質(zhì)即可；

（2）結論不變。如圖②中，只要證明△CBD≌△CBE（SAS），再運用全等三角形的性質(zhì)即可；

（3）分點D在線段BM上和點D在線段BM的延長線上兩種情形分別求解即可．

解：（1）如圖①，

∵CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，

∴∠ACM=∠BCM=45°，

∵∠ECD=90°，

∴∠ECF=∠DCF=45°， CD=CE CB=CB

∴△CBD≌△CBE（SAS），

∴BD=BE，

∴CD=CE

∴BC垂直平分線段DE，

∴BC⊥DE.

故答案為BD=BE, BC⊥DE；

(2)結論：（1）中的結論仍然成立;理由：如圖②，

∴CA=CB，∠ACB= ,CM平分∠ACB

∴∠ACM=∠BCM=，

∵∠ECD=，

∴∠ECF=∠DCF=,

∵CD=CE, CB=CB

∴△CBD≌△CBF（SAS）

∴BD=BE

∴CD=CE，

∵BC垂直平分線段DE，

∴BC⊥DE

(3) 當點D在線段BM上時，即△AFE≌△AMD時，AF=AM，

∵∠AFD=∠AMD=90°AD=AD,

∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL）

∴∠DAF=∠DAM=30°

∴∠DBA=∠DAB=30°

∴DA=DB

∵DF⊥AB

∴∠BDF=60°，BF=AF=2

BD=BE

∴△BDE是等邊三角形，

∴DF=EF= BF·tan30°=

DE=2EF=

如圖③-1中，當點D在BM的延長線時，易證AF=AM=2，DE=2DF=

如圖③-2中，當EF=AM=DF時，也滿足條件，此時DE=BD=AB=4，

綜上所述，滿足條件的DE的值為或或4．