Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，經(jīng)過A、D兩點(diǎn)的圓的圓心O恰好落在AB上，⊙O分別與AB、AC相交于點(diǎn)E、F．
（1）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系并證明；
（2）若⊙O的半徑為2，AC=3，求BD的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODB=90°，從而證得BC是圓的切線；
（2）由OD∥AC，證得△BDO∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{BE+2}{BE+4}$=$\frac{2}{3}$，解得BE=2，然后根據(jù)勾股定理即可求得BD的長度．

解答 解：（1）BC與⊙O相切．
證明：連接OD．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC過半徑OD的外端點(diǎn)D，
∴BC與⊙O相切．
（2）由（1）知OD∥AC．
∴△BDO∽△BCA．
∴$\frac{BO}{BA}$=$\frac{DO}{CA}$．
∵⊙O的半徑為2，
∴DO=OE=2，AE=4．
∴$\frac{BE+2}{BE+4}$=$\frac{2}{3}$．
∴BE=2．
∴BO=4，
∴在Rt△BDO中，BD=$\sqrt{B{O}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定，以及相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．