Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AC=80，BD=60．動(dòng)點(diǎn)M，N分別以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A，D同時(shí)出發(fā)，分別沿A→O→D和D→A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求菱形ABCD的周長．

（2）設(shè)△DMN的面積為S，求S關(guān)于t的解析式，并求S的最大值（提示：需分兩種情況討論）．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】四邊形綜合題．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理及菱形的性質(zhì)，求出菱形的周長；

（2）在動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中：①當(dāng)0＜t≤40時(shí)，如答圖1所示，②當(dāng)40＜t≤50時(shí)，如答圖2所示．分別求出S的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．

【解答】解：（1）在菱形ABCD中，

∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AC=80，BD=60，

∴OA=40，OD=30，

∵AC⊥BD，

∴AD==50．

∴菱形ABCD的周長為200．

（2）過點(diǎn)M作MP⊥AD，垂足為點(diǎn)P．

①當(dāng)0＜t≤40時(shí)，如圖1，

∵，

∴MP=AM•sin∠OAD=．

∴．

∵S隨t的增大而增大，

∴當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480；

②當(dāng)40＜t≤50時(shí)，如圖2，

∴MD=80﹣t．

∵，

∴MP=．

∴===+490．

∵S隨t的增大而減小，

∴當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480．

綜上所述，S的最大值為480．

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．第（2）問中，動(dòng)點(diǎn)M在線段AO和OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是兩種不同的情形，需要分類討論；